Элементы теории поля

Пример 3. Найти наибольшую скорость возрастания функции в точке .
Решение. Наибольшая скорость возрастания функции есть модуль ее градиента. По формуле (4) имеем:

Найдем значение градиента функции в точке М:

Наибольшая скорость возрастания функции равна

.

Геометрический смысл градиента

Рассмотрим семейство линий уровня плоского скалярного поля (2).

Градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку, т.е. направлен по нормали к линии уровня.
В самом деле, дифференцируя равенство (2), получаем в точках линии уровня , тогда из формулы (9) следует, что .
Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности точки, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.
В случае пространственного поля градиент функции направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции.

Оператор Гамильтона

Дифференциальные операции удобно представлять с помощью оператора Гамильтона или оператора «набла»:

. (11)

Оператор будем рассматривать как символический вектор с координатами , а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры.

Если − скалярная функция, то действие оператора на эту функцию дает ее градиент:


.

Векторное поле

Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле.

Примерами векторных полей могут служить поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности, поле сил тяготения.
В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде:


. (12)

Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, в этом случае .