Элементы теории поля

Поле величины называется стационарным или установившимся, если не зависит от времени. В противном случае поле называется нестационарным или неустановившимся.
Для простоты далее будем рассматривать стационарные поля.

Скалярное поле

Пусть − некоторая область плоскости или пространства. Если в каждой точке определена скалярная величина , то говорят, что в области задано скалярное поле.

Обычно поле задается с помощью функции нескольких переменных , называемой скалярной функцией. В пространстве с декартовыми координатами .
Примером скалярного поля может служить поле температур объекта, поле электрического потенциала.
Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей и линий уровня
Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек, в которых функция принимает постоянное значение:


. (1)
Например, для скалярного поля, образованного функцией трех переменных , поверхности уровня представляют собой множество концентрических сфер с центром в начале координат:


.

Возводя в квадрат обе части равенства, имеем: .

В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение


.(2)

На рис. 1 изображены линии уровня поверхности и их проекции на плоскость .

Рис. 1. Линии уровня поверхности и их проекции

на горизонтальную плоскость

Термин «линии уровня» заимствован из картографии, где линии уровня – это линии, на которых высота точек земной поверхности над уровнем моря постоянна. По ним можно судить о характере рельефа местности. Если взять в уравнении (2) постоянные величины, образующие арифметическую прогрессию, то получим ряд линий уровня, по которым можно судить о форме поверхности (рис. 1).

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля в точке в заданном направлении вводится понятие производной по направлению.

Пусть − единичный вектор, имеющий начало в точке . Проведем через точку прямую, совпадающую с вектором , и в направлении вектора возьмем на прямой точку . Приращение функции , возникающее при переходе от точки к точке , определяется как


.

Тогда .