Элементы теории поля



Download 0,68 Mb.
bet7/12
Sana30.03.2022
Hajmi0,68 Mb.
#517327
TuriУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
Bog'liq
elem teor polia

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность S называется поверхностный интеграл 1-го рода по площади поверхности:


. (14)

Выражая скалярное произведение через координаты векторов, получаем другую форму записи:




. (15)

Используя связь поверхностных интегралов первого и второго рода, поток векторного поля можно записать в координатной форме:




. (16)

Отметим, что поток векторного поля есть величина скалярная. Его величина равна объему жидкости, которая протекает через поверхность за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока поля.





Рис. 2

Особый интерес вызывает случай замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V. В этом случае внешнюю нормаль к поверхности S берут за положительное направление нормали и говорят о потоке изнутри поверхности. Величина потока дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в нее за единицу времени. При этом, если значение потока положительно, , то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает, т. е. внутри области имеются дополнительные источники. Если значение потока отрицательно, , то внутри области V имеются стоки, поглощающее жидкость. При в области отсутствуют источники, либо они компенсированы стоками.
Пример 6. Найти поток радиус-вектора через внешнюю сторону поверхности прямого конуса с вершиной в начале координат. Высота конуса Н , радиус основания конуса R.
Решение. В соответствии с формулой (14) найдем поток:



Поток радиус-вектора точек боковой поверхности конуса равен нулю, так как и подынтегральная функция обращается в ноль:




.

Вычислим поток поля через основание


конуса. Подынтегральная функция в этом случае есть проекция радиус-вектора на нормаль, т. е. высота конуса:



Окончательно получим:


Дивергенция векторного поля


Важной характеристикой векторного поля является дивергенция (или расходимость), характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.


Дивергенцией векторного поля в точке М называется скалярная величина:


. (17)

(Обратите внимание, насколько компактнее запись с помощью оператора набла ).


Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в математическом анализе формулу Остроградского-Гаусса:


. (18)

Рассматривая трехмерную область V , ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле , можно утверждать, что левая часть формулы (18) представляет собой поток вектора через поверхность S, а правая − его дивергенцию. Поэтому формулу (18) запишем в векторном виде:




. (19)

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.


Используя формулу (19) и теорему о среднем, несложно показать, что в каждой точке М выполняется равенство:


. (20)

На основании формулы (20) можно дать другое определение дивергенции, эквивалентное данному ранее.



Download 0,68 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish