Элементы теории поля

Дивергенция векторного поля в точке М является пределом отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку М, к объему области, ограниченной этой поверхностью.
Так как поток и объем не зависят от выбора системы координат, то и дивергенция также не зависит от выбора системы координат.
Выясним с помощью формулы (20) физический смысл дивергенции.
Исходя из физического смысла потока, можно сказать, что при точка М представляет собой источник, а при точка М представляет собой сток. Таким образом, дивергенция характеризует мощность или плотность источника или стока в точке. Если в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью, нет источников и стоков, то .
Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю , называется соленоидальным или трубчатым.
Пример 7. Найти дивергенцию поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося с постоянной скоростью вокруг оси Оz.
Решение. Данное поле определено вектором (см. пример 4). По формуле (17) имеем:

Данное поле является соленоидальным или трубчатым.

Циркуляция векторного поля

Пусть в декартовой системе координат в некоторой области задано векторное поле:

,

кривая L − кусочно-гладкая, расположенная в этой области.

Пусть − радиус-вектор точки М на контуре L .
Известно, что вектор направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода, причем , где ‑ дифференциал дуги кривой,


.


Циркуляцией векторного поля вдоль кривой L называется криволинейный интеграл от скалярного произведения векторов :


. (21)

В силовом поле циркуляция имеет простой физический смысл, она выражает работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути L.

Пример 8. Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела вдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Решение. Данное поле определено вектором (см. пример 4). По формуле (21) имеем:


,

где − площадь поверхности, ограниченной кривой L.

Ротор векторного поля. Формула Стокса