Гамильтоновы векторные поля

ГАМИЛЬТОНОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Пусть дано гладкое многообразие М. Скобка Пуассона на М сопос- тавляет каждой паре гладких вещественнозначных функций \[F,H:M~\to R\] новую гладкую вещественнозначную функцию ,которую мы будем обоз- начать через $\left\{ F,\left. H \right\} \right.$ \[\] \[\]
Определение-1. Скобка Пуассона на гладком многообразии М- это операция, сопоставляющая каждой паре F,H гладких вещественнозначных функций гладкую вещественнозначную функци на М и облада- ющая следующими свойствами :
(а) билинейность:


для любых
(b) кососимметричность:

(c) тождество Якоби:

(d) правило Лейбница:

(Здесь обозначает обычное умножение функций.) Во всех этих равенствах и – произвольные гладкие вещественнозначные функции на М.
Определение-2. Пусть М – пуассоново многообразие и – гладкая функция. Гамильтоновым векторным полем, соответствующим функции Н, называется единственное гладкое векторное поле на М, удовлетворяющее условию

для каждой гладкой функции . Уравнения потока векторного поля
называются уравнениями Гамильтона для “гамильтониана” Н.
Пример