Элементы теории поля

Векторное поле называется потенциальным, если существует такая функция , что . Скалярное поле называется потенциалом векторного поля . Примером такого соответствия является электрическое поле, напряженность которого  , где − потенциал электрического поля.
Определение потенциального поля можно дать и по-другому. Векторное поле называется потенциальным, если во всех точках поля его ротор равен нулю: .
В самом деле. Пусть задано скалярное поле , которое является потенциалом векторного поля , причем функция дважды непрерывно дифференцируема. Напомним, что в этом случае смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Вычислим
. То есть, если поле потенциальное, то его ротор равен нулю: . Потенциальное поле называется еще и безвихревым, градиентным.
Отметим важное свойство потенциального поля. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю. Это вытекает из формулы Стокса.

Вычисление потенциала векторного поля

Если мы убедились, что поле является потенциальным, то есть его ротор равен нулю, то представляет интерес вычислить потенциал этого поля. Для этого рассмотрим криволинейный интеграл в данном векторном поле: , где точки M и N − начальная и конечная точки кривой.

Поскольку , то скалярное произведение векторов

является полным дифференциалом функции  .

Поэтому из свойств криволинейного интеграла следует, что


.

Смысл полученной формулы состоит в том, что работа поля по перемещению материальной точки из точки M в точку N не зависит от пути интегрирования, а только от разности потенциалов в конечной и начальной точках. Для вычисления потенциала поля в произвольной точке M выберем начальную точку N , от которой начнем отсчет. Тогда . Поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем его так, как удобно: сначала параллельно оси 0х, потом параллельно 0у, наконец, параллельно 0z. Обозначая M=M(x,y,z) и , получим:

(24)

Здесь .

Так как выбор начальной точки произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной, которая определяется физическими соображениями.

Пример 10. Выяснить, является ли потенциальным векторное поле и найти, если возможно, его потенциал.
Решение. Найдем ротор векторного поля:

Так как ротор векторного поля равен нулю, поле является потенциальным. Найдем потенциал векторного поля по формуле (24), выбрав в качестве начальной точки начало координат, положив