2-тема циркуляция и поток вектора магнитной индукции

2-ТЕМА


Циркуляция и поток вектора магнитной индукции


Пример 3.4. Магнитное поле в центре кругового тока. Найти магнитную индукцию, создаваемую круговым витком радиуса с током в центре витка.
Решение. Разобьем виток на малые элементы (рис. 3.11). Длину каждого элемента выразим через радиус витка и соответствующий центральный угол : . Тогда, согласно уравнению (3.12, а), магнитное поле, создаваемое одним элементом тока в центре витка ( , ):


.



R

Индукция магнитного поля от каждого элемента в центре витка направлена вверх. Значит, для того, чтобы найти результирующее магнитное поле, нужно сложить величины полей всех элементов или проинтегрировать полученное выражение в пределах углов от до :

. (3.15)


Пример 3.5. Магнитное поле на оси кругового тока. Найти магнитную индукцию, создаваемую круговым витком радиуса с током в произвольной точке на оси витка.
Решение. Разобьем виток на малые элементы (рис. 3.11). Длину каждого элемента выражаем через радиус витка и соответствующий центральный угол : . Согласно уравнению (3.12,а) магнитное поле, создаваемое одним элементом тока в некоторой точке на оси витка, удаленной на расстояние от центра витка, ( ):


.

Вектор перпендикулярен плоскости векторов и (рис. 3.11). Вклады в общее магнитное поле от отдельных элементов направлены в разные стороны, поэтому суммировать модули векторов нельзя.

Поскольку результирующий вектор будет направлен вдоль оси , он представляет собой сумму проекций векторов на ось : . Проекция вектора на ось :


.

Интегрируем по переменной :

.

Учитывая, что

, ,

ответ можно представить в виде:

. (3.16)

Используя результат примера 3.5, можно определить магнитное поле на оси соленоида – катушки с током. Предоставляем читателям самостоятельно поупражняться с интегрированием и приведем лишь ответ для поля в произвольной точке А на оси (рис. 3.12):

. (3.17)

Величина называется поверхностной плотностью тока. Она определяется для токов, текущих по некоторым поверхностям. Поверхностная плотность тока  это сила тока, приходящаяся на единицу длины отрезка, перпендикулярного направлению тока. В нашем случае можно считать, что ток идет по боковой поверхности соленоида. Пусть соленоид имеет длину , состоит из витков, и по его обмотке течет ток . Тогда полный ток, текущий по боковой поверхности соленоида, равен , а поверхностная плотность тока . Формулу (3.17) можно переписать в виде:

. (3.17,а)

В случае, когда длина соленоида намного превосходит его радиус ( , ),

. (3.18)

Формула (3.18) еще будет выведена в дальнейшем с помощью теоремы о циркуляции для магнитного поля. Будет показано, что магнитное поле внутри «длинных» соленоидов однородно, так, что формулу (3.18) можно использовать для расчета поля в любой точке внутри соленоида, а не только на его оси.

На рис. 3.13 показаны силовые линии магнитных полей прямого провода, витка с током, соленоида и полосового магнита.

Во-первых, обратим внимание на то, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям (рис. 3.13, а, б) в сторону, указываемую направлением стрелки на силовой линии.
В случае прямого тока (рис. 3.13, а) силовые линии представляют собой коаксиальные окружности с центрами на оси тока. Направление магнитной индукции в любой точке можно определить из закона Био-Савара-Лапласа, записанного в векторном виде (формула 3.12, б). Кроме того, для определения направлений силовых линий существует простое правило, называемое правилом буравчика или правого винта: при вращении буравчика в направлении силовых линий его поступательное движение совпадает с направлением тока.
В случае витка с током (рис. 3.13, б) или соленоида (рис. 3.13, в) направление магнитной индукции на оси витка или соленоида тоже можно определить по правилу буравчика. Направление магнитной индукции совпадает с направлением поступательного движения буравчика при его вращении по току.
Отметим, что картина силовых линий магнитного поля соленоида абсолютно идентична картине силовых линий полосового магнита (рис. 3.13, г). Концы соленоида тоже называют северным и южным полюсами. Силовые магнитные линии во внешнем пространстве соленоида или магнита идут от северного полюса к южному, а во внутреннем пространстве – наоборот.
Циркуляция и поток вектора магнитной индукции (как и любого вектора вообще) определяются так же, как и для вектора напряженности электрического поля.