Элементы математической статистики

1.4. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение. Эмпирической функцией распределения выборки называется функция
(2)
где п – объем выборки, п_х – число значений признака, меньших чем х, т. е. тех, для которых х_i < х.
Функции F*(х) в теории вероятностей отвечает интегральная функция распределения F(х).
Функция F*(х) отличается от интегральной функции распределения F(х) тем, что при составлении F*(х) вместо вероятности события Р(X<х) вычисляется относительная частота события Р*(Х<х).
1.5. ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть имеется выборка объема n со значениями признака х₁ х₂, х₃, ..., х_k. Построим статистическое распределение.
Таблица 4

xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk

Для того чтобы охарактеризовать наиболее существенные свойства этого распределения, так же как и в теории вероятностей, используют средние показатели или, как их называют, выборочные числовые характеристики. Рассмотрим некоторые из них.
1. Выборочная средняя .При наличии повторяющихся значений признака
, (3)
где п — объем выборки, х_i n_i взяты из табл. 4. Выборочная средняя изменяется при переходе от одной выборки к другой, поэтому в силу случайного отбора является случайной величиной.
Если дано распределение непрерывной случайной величины, то вместо х_i берут середину интервала (x_i, …, x_i+1), т.е. .
Для упрощения вычисления выборочных характеристик удобно перейти от данных значений признака x₁|, х₂, х₃,...,х_k к условным значениям и₁, и₂,. и₃,..., u_k—по формуле
, (4)
т. е. ввести вспомогательную величину , где С–новое начало отсчета, обычно это значение признака с наибольшей частотой, h – масштаб.
Можно показать, что при переходе к условным значениям признака по формуле зависимость, связывающая и , имеет вид
(5)
Действительно,


Пример. Дано статистическое распределение:
Таблица 5

хi	1	3	5	7	9	11
ni	2	8	15	14	7	4

Найти .
Решение. Перейдем к условным значениям признака, приняв за C значение с наибольшей частотой, т. е. С=5. Далее находим h = x_i-x_i-1 = 2.
Имеем

Составляем распределение условных значений признака.
Таблица 6

ui	–2	–1	0	1	2	3
ni	2	8	15	14	7	4

Находим


Особенно выгодно применять формулу (4), если значения признака велики.
2. Выборочная и исправленная дисперсия. Одна числовая характеристика не дает полного представления о статистическом распределении. В агрономической и зоотехнической практике, как и в других сферах производства, при анализе результатов существенным для выводов является характеристика рассеяния значений признака относительно выборочной средней. Отклонение отдельных значений от выборочной средней бывает значительным и с этим нельзя не считаться.
Составим таблицу отклонений , указывая соответствующие частоты.
Таблица 7

				…
ni	n1	n2	n3	…	nk

Найдем среднее значение отклонений . Имеем

Следовательно, среднее значение отклонения равно нулю, и поэтому непригодно для характеристики рассеяния признака. Для того чтобы освободиться от знака отклонения и при этом сделать влияние больших отклонений «более ощутимыми», их возводят в квадрат и находят среднее значение. Полученную характеристику называют выборочной дисперсией и обозначают .

Итак,

или
(5)
Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое значение квадратов отклонений признака от выборочной средней.
Пример. Урожайность двух сортов А и В пшеницы, возделываемых на трех участках с одинаковыми условиями роста и развития, характеризуется следующими таблицами:
сорт А сорт В

X, ц	18	19	20		Y, ц	17	19 '	22
Площадь, га	15	25	15		Площадь, га	20	20

Найти дисперсии значений признака обоих сортов.

Решение. Вычислим X_B, Y_B, D_X, D_Y. Находим




Как видим, дисперсия D_y как мера рассеяния или разброса урожайности сорта В относительно среднего значения Y_B в случае примерно одинаковых площадей больше, чем D_y, а это явление нежелательное. Из двух сортов лучшим является тот, урожайность которого более устойчива. По данным опыта сорт А предпочтительнее сорта В.
Для вычисления выборочной дисперсии используют следующую формулу:
(6)
т. е. дисперсия равна разности между средним значением квадрата и квадратом выборочной средней.
Действительно,

Для облегчения вычисления дисперсии используют следующие свойства:
1°. Дисперсия не изменится, если все значения признака увеличить (уменьшить) на постоянное число.
2°. При умножении значений признака на постоянное число h ≠ 0 дисперсия умножается на h².
Выборочная дисперсия, как это показано в более подробных курсах (например, [4]), имеет систематическую ошибку, приводящую к уменьшению дисперсии. Чтобы это устранить, вводят поправку, умножая D_B, на . В результате получают исправленную дисперсию
(7)
или
(8)

На практике часто вместо этой формулы используют другую, ей равносильную, а именно:

(9)

При малых выборках S ощутимо отличается от D_B, например, при n = 2 имеем S²=2D_B. С возрастанием n исправленная дисперсия S²D_B. Уже при n = 30 дисперсии S² и D_B различаются на 3%.

3. Выборочное среднее квадратическое отклонение.
Определение. Арифметическое значение квадратного корня из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратическим отклонением:
(10)
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
(11)
4. Мода. Определение. Модой М₀ называют значение признака, которое имеет наибольшую частоту (n_i = max).
Например, для распределения, данного табл. 5, мода равна 5.
5. Медиана. Медианой т_е называют значение признака, которое делит статистическое распределение на две равные части:
m_e = x_k+1, если n = 2k+1,
m_e = , если n=2k
6. Коэффициент вариации. Для сравнивания меры рассеяния значений признаков около выборочной средней в разных выборках служит коэффициент вариации.
Определение. Коэффициентом вариации V называется отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней, выраженное в процентах:
(12)
Пусть изучается случайная величина X. Из генеральной совокупности сделана выборка объема п со значениями признака х₁ х₂,..., х_n. Предположим, что х₁, х₂,...,х_n различны. Их можно рассматривать как случайные величины Х₁, Х₂, ..., Х_n, имеющие то же распределение, что и случайная величина X, и, следовательно, одинаковые значения М(Х) и D(Х). Тогда

Воспользовавшись свойствами дисперсии находим

Пусть σ – средняя квадратическая ошибка выборочной средней. Тогда

Вывод. Средняя квадратическая ошибка выборочной средней σ( _B) в раз меньше среднего квадратического отклонения случайной величины X, возможные значения которой попали в выборочную совокупность.