Элементы математической статистики

Теорема 1. Выборочная средняя Х_В является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания.
Доказательство. Пусть выборка репрезентативна, т. е.. все элементы генеральной совокупности имеют одинаковую возможность попасть в выборку. Значения признака х₁, х₂, х₃,...,х_n можно принять за независимые случайные величины Х₁, Х₂, Х₃, ...,Х_n с одинаковыми распределениями и числовыми характеристиками, в том числе с равными математическими ожиданиями, равными а,

Так как каждая из величин Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_п имеет распределение, совпадающее с распределением генеральной совокупности, то М(Х) = а. Поэтому

Далее, на основании закона больших чисел имеем

откуда следует, что – состоятельная оценка М(Х).
Используя правило исследования на экстремум, можно доказать, что является и эффективной оценкой М(Х).
В качестве оценки дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности D(Х) принимается исправленная дисперсия.
Теорема 2. Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии D(Х).
1.7. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Теоремы 1 и 2 хотя и являются общими, т. е. сформулированы при достаточно широких предположениях, они не дают возможности установить, насколько близки оценки к оцениваемым параметрам. Из факта, что —оценки являются состоятельными, следует только то, что при увеличении объема выборки значение P(|θ* – θ| < δ), δ < 0, приближается к 1.
Возникают следующие вопросы.

1. 
   Каким должен быть объем выборки п, чтобы заданная точность
   |θ* – θ| = δ была гарантирована с заранее принятой вероятностью?
   
2. 
   Какова точность оценки, если объем выборки известен и вероятность безошибочности вывода задана?
   
3. 
   Какова вероятность того, что при заданном объеме выборки будет обеспечена заданная точность оценки?
   

Введем несколько новых определений.
Определение. Вероятность γ выполнения неравенства, |θ*– θ| < δ называется доверительной вероятностью или надежностью оценки θ.
(1)
Перейдем от неравенства |θ*–θ| < δ к двойному неравенству. Известно, что . Поэтому доверительную вероятность можно записать в виде
(2)
Так как θ (оцениваемый параметр) – число постоянное, а θ* – величина случайная, понятие доверительной вероятности сформулировать так: доверительной вероятностью γ называется вероятность того, что интервал (θ*– δ, θ*+ δ) накрывает оцениваемый параметр.
Определение. Случайный интервал (θ*–δ, θ*+δ), в пределах которого с вероятностью γ находится неизвестный оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом İ, соответствующим коэффициенту доверия γ,
İ=(θ*– δ, θ*+ δ). (3)
Надежность оценки γ может задаваться заранее, тогда, зная закон распределения изучаемой случайной величины, можно найти доверительный интервал İ. Решается и обратная задача, когда по заданному İ находится соответствующая надежность оценки.
Пусть, например, γ = 0,95; тогда число р = 1 – у = 0,05 показывает, с какой вероятностью заключение о надежности оценки ошибочно. Число р=1–γ называется уровнем значимости. Уровень значимости задается заранее в зависимости от конкретного случая. Обычно р принимают равным 0,05; 0,01; 0,001.
Выясним, как построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака. Было показано, что

Оценим математическое ожидание с помощью выборочной средней учитывая, что также имеет нормальное распределение^. Имеем
(4)
а по формуле (12.9.2) получаем

Принимая во внимание (13.5.12), получим
(5)
Пусть известна вероятность γ. Тогда

Для удобства пользования таблицей функции Лапласа положим тогда а

(6)
Интервал
(7)
накрывает параметр а = М(Х) с вероятностью γ.
В большинстве случаев среднее квадратическое отклонение σ(Х) исследуемого признака неизвестно. Поэтому вместо σ(Х) при большой выборке (n > 30) применяют исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s, являющееся, в свою очередь оценкой σ(X), доверительный интервал будет иметь вид
İ =