Элементы математической статистики

Пример. С вероятностью γ = 0,95 найти доверительный интервал для М(Х) – длины колоса ячменя сорта «Московский 121». Распределение задается таблицей, в которой' вместо интервалов изменения (х_i, х_{i + 1}) взяты числа , см. Считать, что случайная величина X подчинена нормальному распределению.

	7,5	8,5	9,5	10,5	11,5	12,5	13,5
ni	4	10	14	12	5	4	1

Решение. Выборка большая (n = 50). Имеем




Найдем точность оценки

Определим доверительные границы:

Таким образом, с надежностью γ = 0,95 математическое ожидание заключено в доверительном интервале I = (9,5; 10,3).
Итак, в случае большой выборки (n > 30), когда исправленное среднее квадратическое отклонение незначительно отклоняется от среднего квадратического отклонения значения признака в генеральной совокупности, можно найти доверительный интервал. Но делать большую выборку удается не всегда и это не всегда целесообразно. Из (7) видно, что чем меньше п, тем шире доверительный интервал, т. е. I зависит от объема выборки п.
Английский статистик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что в случае нормального распределения признака X в генеральной совокупности нормирования случайная величина
(8)
зависит только от объема выборки. Была найдена функция распределения случайной величины Т и вероятность P(T < t_γ), t_γ – точность оценки. Функция, определяемая равенством
s (n, t_γ) = P(|T| < t_γ) = γ (9)
названа t-распределением Стьюдента с п – 1 степенями свободы. Формула (9) связывает случайную величину Т, доверительный интервал İ и доверительную вероятность γ. Зная две из них, можно найти третью. Учитывая (8), имеем
(10)
Неравенство в левой части (13.7.10) заменим равносильным ему неравенством . В результате получим

или
(11)
где t_γ=t(γ,n). Для функции t_γ составлены таблицы (см. Приложение 5). При n>30 числа t_γ и t, найденные по таблице функции Лапласа, практически совпадают.