Элективный курс «Методы доказательства неравенств»

Учебно-тематический план.

№	Тема	Кол-во часов	В том числе
			лекция	практика
1	Числовые неравенства и их свойства	1	0,5	0,5
2	Основные методы доказательства числовых неравенств.	2	1	1
3	Основные методы решения задач на доказательство неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши и применение.	3	1	2
4	Доказательство неравенств методом математической индукции.	3	1	2
5	Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Неравенство Коши-Буняковского. Их применение к решению задач.	2	1	1
6	Средние величины. Классические неравенства.	2	1	1
7	Неравенство Чебышева.	1	1	-
8	Неравенства, связанные с тригонометрическими функциями.	1	-	1
9	Доказательство неравенств с помощью производной. Доказательство неравенств с использованием свойств функций.	2	1	1
10	Геометрические неравенства.	2	-	2
11	Применение неравенств.	3	-	3
12	Обобщающее занятие. (защита рефератов)	2		2
	Итого	24	7,5	16,5

Содержание программы.

1. 
   Числовые неравенства и их свойства.
   

Цель и значение элективного курса. Исторические сведения. Понятие положительного, отрицательного числа, число нуль. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятия «больше»,»меньше», «не больше» , « не меньше». Основные положения и числовых равенствах и неравенствах. Простейшие свойства числовых неравенств; сложение и вычитание числовых неравенств; умножение числовых неравенств; возведение в степень и извлечение корня n-ой степени.


2 Основные методы доказательства числовых неравенств.
Рассмотреть возможные методы доказательства числовых неравенств: путем рассмотрения разности между левой и правой частями неравенства и установления её знака, по которому делается заключение о справедливости рассматриваемого неравенства; путем сравнения чисел или их отношения с единицей; путем сравнения их степеней; путем сравнения их с промежуточным числом; с помощью тождественных преобразований от очевидного неравенства приходят к данному или, наоборот, от данного к очевидному; с использованием замечательных неравенств.

3. 
   Основные методы решения задач на доказательство неравенств с переменными.
   

Частные случаи неравенства Коши и их применение. Равносильные неравенства. Неравенство-следствие. Рассмотреть методы доказательства: « от противного»; метод усиления или ослабления; использование тождеств; метод понижения степеней; метод подстановки; метод оценок; с использованием свойств функций, входящих в неравенства.
«Замечательные» неравенства и их применение. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение.


4. Доказательство неравенств методом математической индукции.
Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Принцип математической индукции. Способ доказательства методом математической индукции. Обобщенный принцип математической индукции. Применение метода математической индукции для доказательства неравенств.