Элективный курс «Методы доказательства неравенств»

Приложение
Тема 1.
1 . Какие из следующих неравенств верны: -5 < 0; -7 -11;
15 ≤ 15; 0 < -1;
0 3;
2. Положительны, отрицательны или равны нулю значения следующих числовых выражений:
(-3)¹⁰⁰⁰; sin⁶⁰⁰; - .
3. Известно, что a < 2. Докажите, что 3a < 7.
4 . Известно, что a + b < 4. Докажите, что 2a + 2b < 17.
5 . Известно, что 1,4 < < 1,5. Оцените значение выражения: + 1; - 1; 2 - .
6. Пусть 6 < x < 7 и 10 < y < 12. Оцените: а) x + y; б) y – x; в) xy; г) .


Т ема 2.
1. Что больше: а) - или 2;
б) 0,9999^1,0001 * 1,0001^,9999 или 1.
2. Доказать неравенство 3⁵⁴ > 2⁵¹; 202³⁰³ > 303²⁰².
3. Какая из дробей больше и почему:
или ; ; ; или .

4. Какое число больше 3²⁰³ + 2³⁰³ или 3²⁰¹ + 2³⁰⁵ ?

5 . Доказать неравенство · · · … · < 0,01.


Тема 3.
1. Равносильны ли на множестве всех положительных чисел следующие неравенства:
х² х³ и 1 х; х³ + < х² + и х³ < х²; х+1 и х (х+1)²?
2. а) с помощью цепочки эквивалентных неравенств
1. Доказать неравенство , где a > 0, b > 0.
2. Доказать, что для любых действительных х и у выполняется неравенство
х² + 2ху + 3у² + 2х + 6у + 3 0.
б) с использованием свойств функции, входящих в неравенство, доказать справедливость неравенства:
1. tg x + ctg x 2;
2. 0 sin⁸ x + cos²⁰ x 1;
3. + 1.
в) метод оценок:
1. Доказать неравенство + + … + , n Є N.
2. Доказать неравенство + + … + < 1 - , n Є N, n > 1.
3. Доказать, что + + , если a > 0, b > 0, c > 0.
4. Доказать, что 1 + + + … + > 2 - 2.
г) применение неравенства Коши:
1. Доказать, что если а 0, b 0, то (неравенство Коши).
2. Доказать неравенство х⁴ + у⁴ + z⁴ + t⁴ 4xyzt
3. Доказать, что сопротивление последовательного соединения n проводников превышает сопротивление параллельного соединения тех же проводников не менее, чем в n² раз.
4. Доказать, что произведение двух положительных сомножителей, сумма которых постоянна, будет наибольшим, когда они равны.
д) на все методы:
Доказать неравенства: 1. х² + у² + 1 ху + х + у
2. х(у +1) + у(z + 1) + z(x + 1) 6
3. + + x + y + z (x, y, z 0)
4. a² – ab + b² ab
5. (a² – b²) 4ab(a – b)²
6. a² + b² + c² ab + bc + ac
7. a² + b² + 1 ab + a + b
8.
9. (ab + bc + ac)² = 3abc(a + b + c).
1 0. Доказать, что если а 0, b 0, с 0, то имеет место неравенство
6abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 2(a³ + b³ + c³).
11. Доказать, что если a > 0, b > 0, c > 0, то имеет место неравенство
+ + 3.
1 2. Доказать, что если ab > 0, то + 2.
13. Доказать, что если a < b, то a < < b.
1 4. Доказать, что если , то .
1 5. Доказать неравенство x⁴ + y⁴ + z⁴ + 1 2x(xy² – x + z + 1).


Тема 4.
1. Докажите, что если a > b и a,b – положительные числа, то aⁿ > bⁿ.
2 . Докажите, что 2ⁿ > 2n + 1 при любом натуральном n 3.
3. Докажите, что 3ⁿ > n + 1.
4. Доказать, что для всех натуральных чисел справедливо неравенство
+ + … + > 1.
5. Докажите, что при любом натуральном n > 3 справедливо неравенство
+ + + … + < .
6 . Доказать (1 + x)ⁿ > 1 + nx для любого натурального n 2, x > 1, x 0. (неравенство Бернулли).
7 . Доказать неравенство · · · … · .
8 . Доказать, что + + … + .
9. Докажите, что а) n! > , если n > 2; б) n! > 2^{n -1}, если n > 2.
1 0. Докажите n .