Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

s

predmeti boiadi. 0 ‘z-o‘zidan tushunarliki, ~ miqdor A hodisa­
ning n ta tajribada qanchalik ko‘p ro‘y berishlarini xarakterlaydi va uni A hodisaning chastotasi deyiladi.

187

Ya.Bernulli tomonidan isbotlangan va ehtimolliklar nazariyas­ ining katta sonlar qonuni deb ataluvchi limit teorema quyidagidan iborat.

1-teorema. Har qanday e > 0 uchun oo da

-	>e -> 0 .	(2)

n
Bu teoremaning ma’nosi yetarli darajadagi katta n lar uchun

s
— ~ p bo‘ladi degan xulosadan iborat. n
Muavr-Laplas teoremasi (2) limit munosabatdagi ehtimollikni baholash imkoniyatini beradi va u quyidagicha ifodalanadi.
2-teorema. Har qanday a < b haqiqiy sonlar uchun

lim P	a < $ f ! 2 . < b ) = J -			\e~2 du.	(3)
rt—>oc	J n p q	)	s[2n	J
		'	a

Bu tenglamaning simmetrik hoi uchun (p = q = 1/2) Muavr va ixtiyoriy 0 < p < 1 uchun Laplas isbotlagan. (3) limit munosa-batning o‘ng 0(6) —O(o) tomonini ko‘rinishda yozish mumkin va bunda $(•) standart normal taqsimot funksiyasi bo‘lib

	X	I?
=	—00	2d u'	^

Muavr-Laplas teoremasining tadbig'i sifatida quyidagi misolni ko‘rish mumkin.

Rasmiy statistik ma’lumotlarga asosan o‘g‘il bola tugMlish ehti­ molligi o‘zgarmas p = 0,512 ga teng. Aytaylik, 104 bola tug‘ildi. Shu tugMlgan bolalardan o‘g‘il bolalar soni qiz bolalar sonidan 200 ta ko‘p boMish ehtimolligi topilsin.
Qo‘yilgan masala bog‘liqsiz tajribalar Bernulli sxemasi doirasi-da quyidagicha yechiladi. Faraz qilaylik mumkin bo"lgan 104 bogMiqsiz tajribalar ketma-ketligi bor (n — 104) va undagi har bir tajribaning natijasi o‘g‘il yoki qiz bola tugMlishidan iborat boMadi. BogMiqsiz tasodifiy miqdorlar larni quyidagicha keltiramiz: 1. agar y'-tugMlgan bola o‘gMl boMsa, ^y=0, agar u qiz bola boMsa. U holda

188

1(T

•s. = Zi,

miqdor ro ‘yxatdan o‘tgan o‘g‘il bolalar sonini belgilaydi. Bu holda
npq « 0,25• 104.
Topilishi kerak bo‘lgan ehtimollik 2-teoremaga asosan
P( Sn > 5100) = 1 - P( Sn < 5100) = 1 - P [ ^ ^ - < 51°/25qq2°
= i _ o ( - |g ) = 1 - 0 ( _ ° ,4>^ ° ,66.
Eslatib o‘tamizki, O(x) funksiyaning sonli qiymatlari jadvali ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika bo‘yicha yozilgan deyarli hamma qo‘llanmalarda keltiriladi.
Agar
Ck = n!

it !(«-*)!
formulani hisobga olsak, topilgan ehtimollikni (1) formula orqali hisoblash deyarli mumkin emasligiga ishonch hosil qilamiz. Ha-qiqatan ham
k„n-k

tenglik oiinli bo'lib, yig'indi ostidagi qo‘shiluvchilami deyarli hisoblab bo'lmaydi.
Alohida qayd qilib o‘tish kerak boMadiki, Muavr-Laplas teore­ masi (1) formuladagi binomial taqsimot parametrlari n va p lar, np~^cc munosabatda bolganda (xususan p fiksirlangan holda) sa-marali natijalar beradi. Agar p —p(n) boMib va «->oo da np->l (0 < A, < oo) asimptotik munosabat bajarilsa, Muavr-Laplas teor­ emasi o'rniga Puasson teoremasini ishlatishga to‘g‘ri keladi.

Muavr-Laplas teoremasidan tasodifiy miqdorlami qo‘shish na­ zariyasi boshlandi, dcgan fikrni oldinga sursak, hech ham xato qilmagan bo‘lamiz. Uning umumlashgan variantlari «ehtimollik-

189

lar nazariyasining markaziy limit teoremalari» nomi bilan hozirgi zamon matematikasining fundamental va praktik jihatdan juda muhim yo‘nalishini tashkil qiladi (termin mashhur matematik D.Poya (1887—1985) tomonidan taklif qilingan).
Shu davr davomida Bernulli tomonidan ilgari surilgan va «ehti-mollikning klassik ta’rifmi» asoslaydigan «teng imkoniyatlilik» prin-sipidan chetlanish g‘oyalari ham yuzaga keldi. Buning natijasida klassik sxemalarga mos kelmaydigan «noklassik taqsimotlar» mavjud bo'lishi hamda ulaming nazariya va amaliyotda muhim rol o'ynashi kashf etildi. Masalan, (4) formula bilan aniqlanadigan normal taqsimot, Puasson taqsimotlari shular jumlasidandir (eslatib o‘ta-mizki, butun va manfiy boMmagan qiymatlar qabul qiladigan tasod­ ifiy miqdor Puasson taqsimotiga ega deyiladi, agar