Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

Uchinchi bosqich (XIX asr ikkinchi yarmi).
XIX asr ikkinchi yarmidan boshlab Sankt-Peterburg ehtimol­ liklar nazariyasining umumiy muammolari bo'yicha olib bori-layotgan ilmiy tadqiqot ishlarining markaziga ayiandi. P.L.Chebishev (1821-1894), A.A.Markov (1856-1921), A.M.Lyapunov (1857— 1918) va boshqa rus matematiklari ehtimolliklar nazariyasini mus-taqil matematikn fani sifatida rivojlanishiga katta hissa qo'shdilar. Aynan shu olimlarning tadqiqotlari natijasida ehtimolliklar nazari­ yasi «klassik sxema» doirasidan chiqdi. Masalan, P.L.Chebishev tasodifiy miqdorlar, matematik kutilma tushunchalarini juda er-kin his qilganini sezish qiyin emas.
Bu davrgacha kashf qilingan katta sonlar qonuni, Muavr-Lap­ las teoremasi faqat 2 ta qiymat qabul qiladigan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligiga tegishli edi, xolos (Bernulli sxemasi). P.L.Chebishev bu teoremalaming tadbiq doiralarini kengaytirdi. Masalan, u kat­ ta sonlar qonunini biror o'zgarmas son bilan tekis chegaralangan bogiiqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun o'rinli ekan-ligini isbot etdi. Uning o'quvchisi A.A.Markov bu tadqiqotni dav-om ettirib, katta sonlar qonuni o'rinli bo'lishi uchun kerak bo'la-digan yetarli va zaruriy shartlami topdi. Bu tadqiqotlar davomida matematikaning boshqa sohalarida ham muhim ahamiyatga ega bo'lgan Chebishev, Chebishev-Markov tengsizliklari isbot etildi.
Katta sonlar qonunidan so'ng P.L.Chebishev yuqorida kelti­ rilgan Muavr-Laplas teoremasining umumiy ko'rinishi —marka­ ziy limit teoremaning juda keng tasodifiy miqdorlar ketma-ketlik-lari sinfi uchun o'rinli bo'lish muammolari bilan shug'ullandi. Bu tadqiqotlarda P.L.Chebishev markaziy limit teoremaning o'rinli bo'lishida ko'p qo'llaniladigan «momentlar metodi»ni ishlab chiqdi. Bu metod AA.Markovning ishlaridan takomillashtirildi.
Ma’lumki, «momentlar metodi»ning qo'llanilishi, qo'shiluvchi bogiiqsiz tasodifiy miqdorlar uchun hamma tartibdagi moment­ lar mavjud bolishligini taqozo qiladi. P.L.Chebishevning shogird-laridan biri A.M. Lyapunov o'zi asos solgan analitik metod — xarakteristik funksiyalar metodini qo'llab, markaziy limit teore­ ma o'rinli bo'lishi uchun qo'shiluvchi bogiiqsiz tasodifiy miq­ dorlarning atigi 2+8 (8 > 0) tartibdagi momentlari mavjudligi

191

yetarli ekanligini isbotladi. Eslatib o‘tamizki, A.M.Lyapunov ehti­ molliklar nazariyasidan tashqari matematika va mexanikaning boshqa sohalarida ham juda sermahsul ish qilgan. Masalan, uning hozirgi zamon fanidagi «turg‘unlik nazariyasiga» asos solganini eslatib o‘tish yetarli boiadi.
Bu davr oxirida A.A.Markov tomonidan bogiiqsiz boimagan, ya’ni bogliqli boigan tasodifiy miqdorlar sxemasining kiritilgani va o'rganilgani ehtimolliklar nazariyasida butunlay yangi konsep-siyasini yuzaga keltirdi. Bu sxema «Markov prinsipi» deb ataldi-gan qoidaga bo‘ysunib, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi ifoda eta-digan fizik sistemaning «kelgusidagi» evolutsiyasi faqat uning hozirgi holatiga bogiiq bolishini taqozo qiladi. Pirovardida, bu sxema tasodifiy miqdorlarning «Markov zanjirlari» nomini oldi va Mark-ovning o‘zi ikki qiymatli «zanjirlar» uchun ergodik teorema (katta sonlar qonunining qat’iy formasi) va markaziy limit teoremasi (Mauvr-Laplas teoremasining umumlashgani) o‘rinli ekanligini isbotladi. A.AMarkovning bu ishlari hozirgi zamon ehtimolliklar naziriyasining «Markov tasodifiy jarayonlari» yo‘nalishiga asos boldi.
Umuman, xulosa qilib aytish mumkinki, P.L.Chebishev, A.A.Markov, AM.Lyapunovlarning yuqorida qisqacha izohlan-gan ishlari («Peterburg maktabi») ehtimollik nazariyasining keyingi davrlardagi rivojlanishiga mustahkam poydevor bolib xizmat qildi.
XTX asrning ikkinchi yarmida G‘arbiy Yevropada ham ehti­ molliklar nazariyasiga qiziqish keskin yuksaldi. Bu qiziqishning asosiy sabablari, bu nazariyaning sof matematika tushunchalari orqali, statistik fizika va endigina ro'yobga chiqayotgan matema­ tik statistika masalalari bilan uzviy ravishda bogliqligi bor ekan-ligida boldi. Shu davrda ko‘pchilik matematiklarga ehtimolliklar nazariyasi mustaqil fan sifatida rivojlanish uchun uni «klassik asos-lar» (ya’ni elementar hodisalar soni chekli va ularning teng imkoniyatligi)dan qutilishi kerakligi tushunarli boldi.
Aynan shu davrda sof matematikaning o‘zida ham «ehtimol-lik» tushunchasi bilan bogiiq bo‘lgan ulkan o‘zgarishlar ro‘y ber-di. Masalan, ehtimolliklar nazariyasidan juda yiroq boigan sonlar nazariyasida ehtimolliklar taqsimotlari bilan bogiiq metodlami

192

qo‘llash orqali qiyin masalalar hal qilindi. 1880-yilda mashhur matematik A.Puankare (1854—1912) «Uch jism harakati» haqi­ dagi qiyin mexanik masalalarni yechishda tasodifiy xarakterda bo‘lgan dinamik sistemalarning «qaytalanish>> xossalaridan foyda-landi. Shu davrda «tasodifiy tanlash* kabi tushunchalarga muro-jaat ko‘payib bordi. Masalan, A.Puankare 1886-yilda chop etgan «Ehtimolliklar nazariyasi» kitobida «|0,11 oraliqdan tasodifiy rav­ ishda tanlangan nuqtaning ratsional songa mos kelishligi qanday ehtimollik bilan ro'y beradi* kabi masalalarga ko‘p to'xtalgan. 1888-yilda astronoin X.Gyulden (1841 —1896) tomonidan yozil­ gan maqolada, A.Puankare qo'ygati bu masala, sayyoralar hara-katlarining «turg‘unlik bo'lishi yoki bo‘lmasligi» bilan bog'liq ekan-ligi ko‘rsatib o‘tilgan.
«Ehtimolliklar taqsimoti» tushunchalari va ular bilan bog'liq metodlar XIX asming ikkinchi yarmida klassik fizikada va statis­ tik mexanikada keng qo‘llanila boshlandi. Masalan, zarrracha-laming molekular harakati uchun «MaksvclI taqsimoti* (J.Maksvell (1831—1879), mashhur ingliz fizigi), L.Bolsman (1844-1906) to­ monidan «o‘zgaruvchi o‘rta qiymatlar» va «ergodik» prinsiplarini kashf etilganini eslatib o‘tish yetarli bo‘ladi. Ehtimolliklar naza­ riyasi va uning metodlarini shu davrdagi rivojlanishiga 1827-yilda «Braun harakati» (R.Braun (1773-1858), ingliz botanigi) nomi bilan atalgan tasodifiy jarayonlarning ochilganligi sezilarli ravish­ da ta’siretdi. Bu «harakat»nmg matematik asoslari kcyinroq mash­ hur fizik A.Eynshteyn (1879-1955) va uning shogirdi M.Smolu-xovskiy ishlarida keltirildi. Braun jarayonlari («harakallari») A.Bekkeren (1852—1908) tomonidan kashf etilgan jismlarning ra-dioaktivlik xossalarini o‘rganishda muhim rol o'ynadi. 1900-yilda esa L.Bashale (1870—1946) «aksiyalarning qiymatini» matematik usul bilan aniqlashda «Braun jarayonlari»dan foydalandi (eslatib o‘tish mumkinki, hozirgi zamon moliya matematikasiga L.Bashale-ning shu ishlari asos boMdi).
Aytib o‘tilganlardan kelib chiqadiki, yuqorida keltirilgan va muhim praktik ahamiyatga ega bo‘lgan tasodifiy jarayonlarning mohiyatini «klassik» konsepsiyaga asoslangan ehlimolliklar nazari­ yasi orqali tushuntirib berish mumkin bolmaydigan vaziyat yu-

193

zaga keldi. Aynan shu davr oxirida sof matematikada to‘plamlar nazariyasini va u bilan bog‘liq ravishda «o‘lchamlar nazariyasi» shakl topa boshladi. Bu yangi nazariyaiar yuqorida keltirilgan va ehtimolliklar nazariyasini «boshi berk» ko‘chaga olib kirgan vazi-yatini bartaraf etishda muhim omil bo‘lib hizmat qildi. Bunda mashhur fransuz matematigi E.Borel (1871—1956) tomonidan «o‘lchovli to‘plamlar», «to‘plamlarriing o‘lchovi» tushunchalari kiritilishi muhim ahamiyat kasb etdi. To‘plamlarning «Borel o‘lchovlari» matematikada muhim bo‘lgan uzunhk, yuza, hajm tushunchalarini beqiyos umumlashtiradi. E.Borelning bu ishlari-da tajribalaming elernentar natijalari ixtiyoriy to'plam tashkil etishi-ni hisobga olgan holda bu tajribaning matematik modelini qurish mumkinligiga asos solindi. Xususan; bu modellar berilgan tajrib­ aning cheksiz marta davom ettirish mumkinligi hollari uchun ham mos keladi. Matematik nuqtayi nazardan oxirgi xulosada to'plamlar ustida sanoqli sondagi birlashtirish (qo'shish) va umumlashtirish (ko'paytirish), pirovardida esa, limitga o'tish amallarini bajarish kerakligi e’tirof etiladi. Aytilganlardan tushunarliki, E.Borelning ishlarida ehtimolliklar nazariyasi uchun butunlay yangi konsep-tual-falsafiy asos solindi. Ayni paytda bular XIX asraing oxirlari-da isbotlangan «kuchaytirilgan katta sonlar qonuni» haqidagi teo-remada namoyon bo'ldi. Bu teorema ma’lum xossani qanoat-lantiradigan haqiqiy sonlar «ko‘pligi yoki ozligi» haqida tassavvur hosil qilish imkonini beradi va uni quyidagicha izohlash mumkin: