Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

Funksiyaning monotonligi.

Ushbu paragrafda biz funksiya hosilasi yordamida funksiyaning monotonligini aniqlash mumkinligini ko’rsatamiz.

f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lsin.

1.1.2-teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya shu intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun intervalda

tengsizlik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot.Zarurligi.Shartga ko’ra f(x) funksiya (a,b) da chekli (x) hosilaga ega bo’lib, u (a,b) intervalda o’suvchi (kamayuvchi). x (a,b) nuqtani olib u bilan birga + (a,b)nuqtalarni ham qaraymiz. U holda

( ,

da esa

Munosabatlar o’rinli bo’ladi va bu munosabatlardan har doim

(1.1.3)tengsizlik kelib chiqadi. funksiya da chekli hosilaga ega bo’lgani uchun ushbu

limit mavjudva chekli bo’lib,

o’rinli. va (1.1.4) munosabatlardan intervalning barcha nuqtalarida

tengsizlik o’rinli bo’lishini topamiz.

Yetarliligi.Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lib,shu intervalda tengsizlik o’rinli.

Endi intervalda ixtiyoriy va nuqtalarni olaylik.Ravshanki , bu holda bo’lib , segmentda funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi.Lagranj teoremasiga muvofiq va nuqtalar orasida shunday nuqta mavjudki , ushbu

(1.1.5)

tenglik o’rinli bo’ladi. (1.1.5) tenglikdan va da bo’lgani uchun

bo’lishi kelib chiqadi.Demak,

bo’lganda tengsizlik ham o’rinli.Bu funksiyaning intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishini ifodalaydi.Teorema isbot bo’ldi.

1.1.2-natija.Agar funksiya chekli hosilaga ega bo’lib , shu intervalda tengsizlik o’rinli bo’lsa , funksiya intervalda qat’iy o’suvchi (qat’iy kamayuvchi) bo’ladi.

Haqiqatan ham , (1.1.5) tenglikdan va da bo’lishini e’tiborga olib , quyidagini topamiz:

Demak , bu holda bo’lganda tengsizlik ham o’rinli.Bu funksiyaning intervalda qat’iy o’suvchi (qat’iy kamayuvchi) ekanini ko’rsatadi.