Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kramer formulasi va gauss usuli

Matrisalar yordamida chiziqli algebraik 

 tenglamalar sistemasini yechish

. 

Uchta noma

’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini 

ko

’raylik. 





























3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11

с

x

а

х

а

х

а

с

x

a

х

а

х

а

с

x

a

х

а

х

а

     (1) 

Elementlari noma

’lumlarning koeffisiyentlaridan, 

noma

’lumlardan va ozod  

hadlardan tuzilgan quyidagi matrisalarni ko

’raylik. 

A=





















33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

,     X=





















3

2

1

x

x

x

,      C=





















3

2

1

c

c

c

 

Bu holda (1) sistemani qo

’yidagicha yozish mumkin. 





















33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

x





















3

2

1

x

x

x

=





















3

2

1

c

c

c

 



 AX=C     (2). 

 (2) ning har ikkala tomonini chapdan A

-1 

ga ko

’paytirsak 

A

-1

(AX)= A

-1

C 



 (A

-1

A)X= A

-1

C 

Agar A

-1

A=AA

-1

 =E va EA=AE=A  tengliklarni e

’tiborga olsak  

(A

-1

A)X= A

-1

C



EX= A

-1

C 



  X= A

-1

C        (3), 

 (3)   (1)-sistemaning yechimini ifodalaydi. 

 

Misol. 

Quyidagi tenglamalar sistemasini matrisaviy usulda 

yeching: 

 





























15

4

2

0

2

5

3

3

2

1

3

2

1

2

1

x

х

х

x

х

х

х

х

 

 

Yechish. 

Sistemani matrisa ko

’rinishida yozaylik: 

 



























4

1

2

1

1

2

0

1

3

x





















3

2

1

x

x

x

=





















15

0

5

 

A=



























4

1

2

1

1

2

0

1

3

,     detA=|A|=

4

1

2

1

1

2

0

1

3







=5        

Demak A matrisa uchun  A

-1

 matrisa mavjud  . Berilgan A 

matrisa elementlarining algebraik to

’ldiruvchilarini 

hisoblab teskari matrisani topamiz 

A

-1

 =

























5

/

1

5

/

1

0

3

/

5

5

/

12

2

5

/

1

5

/

4

1

 

Endi (3) formulaga asosan 





















3

2

1

x

x

x

=

























5

/

1

5

/

1

0

3

/

5

5

/

12

2

5

/

1

5

/

4

1





















15

0

5

=





















3

1

2

 

x

1

=2;  x

2

=1;  x

3

=3  . 

 

Misоllаr.  

 

Quyidаgi tеnglаmаlаr sistеmаlаrini mаtrisаlаr hislbi yordаmidа еching (68-71). 

 

68. 





























16

4

3

14

3

2

9

2

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

69. 































10

7

5

2

2

5

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

70. 

















































22

9

4

3

4

2

3

5

3

2

3

5

2

3

4

3

2

1

4

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

71. 

















































7

8

3

2

3

6

2

9

3

2

2

4

6

3

6

4

6

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

Quyidаgi tеnglаmаlаr sistеmаlаrini nоmа’lumlаrni kеtmа-kеt yo’qоtish usulidа 

еching (72-77). 

 

72. 





























4

2

3

7

1

4

2

5

5

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

73. 





























7

3

6

2

2

1

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

74. 





























1

5

5

2

1

3

1

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

75. 





























14

6

4

2

5

3

2

7

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

 

76. 















































37

2

9

8

3

40

9

9

10

2

11

2

3

20

4

5

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

  77. 























































8

7

3

5

3

8

5

8

6

6

5

3

5

3

3

2

4

3

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

  

 

4-§.  VEKTORIAL ALGEBRA 

 

 

Aniq  yo

’nalishga  ega  bo’lgan  chekli  kesmaga  vektor 

deyiladi.     

A  nuqtani  vektorning  boshi,  B  nuqtani  esa  vektorning  ohiri 

yoki uchi deyiladi. Odatda vektor  

АВ

 yoki  



а

  ko

’rinishda  

yoziladi.  Kesmaning  uzunligi   

АВ

  vektorning  modulini  ya

’ni 

son  qiymatini  ifodalaydi  va  |

АВ

|  yoki  |



а

|  ko

’rinishda 

yoziladi. 

Vektor 

degan 

so

’z 

asli 

lotincha 

bo

’lib, 

ko

’chiruvchi,  siljituvchi  yoki  tortuvchi  degan  ma’noni 

bildiradi. 

Vektorlarni  qo

’shish,  ayirish  amallari  o’rta  maktab 

dasturidan  ma

’lum  bo’lgan  uchburchak  va  parallelogramm 

qoidalariga asosan amalga oshiriladi. 

Vektorni  songa  ko

’paytirish. 



а

  vektorni  biror 



  haqiqiy 

songa  ko

’paytirganda  shu     



а

  ga  kollinear  bo

’lgan 



b

  vektor 

hosil  bo

’lib,  uning  uzunligi  |



b

|=  |



||



a

|    ga  teng  bo

’lib, 

yo

’nalishi  esa 



  >0    bo

’lsa, 



а

vektor  yo

’nalishi  bilan  bir 

hil , 



 <0 bo

’lsa, 



а

yo

’nalishiga qarshi bo’ladi. Vektorlarni 

songa  ko

’paytirish  qoidasidan  ko’rinadiki 



b

=





а

bo

’lsa   



а

  va  



b

  vektorlar kollinear vektorlar va  aksincha.  

 

 

 

Vektorlarning o

’qqa proyeksiyasi. 

 



а

vektorning    u  o

’qdagi  proyeksiyasi  shu  vektor 

uzunligini,  shu  vektor  bilan  u  o

’q  orasidagi 



  burchak 

kosinus ko

’paytmasiga teng bo’ladi: 

 

pr 

u



а

=|



а

|cos



 

 

     Vektor  koordinatalari  deganda  vektorning  uchi  bilan 

boshining 

bir 

hil 

koordinatalari 

ayirmalariga 

shu 

vektorning koordinatalari deyiladi va qo

’yidagicha yoziladi  



а

={x

2

-x

1

; y

2

-y

1

} 

Vektor 

koordinatalar 

kvadratlarining 

yisindisidan 

olingan kvadrat ildizga vektor uzunligi deyiladi.  

2

1

2

2

1

2

)

(

)

(

|

|

y

y

x

x

а











 

 

 

Vektorni bazislar bo

’yicha yoyish. 

 

Tekislikdagi  bazis      deb  ikkita  kollinear  bo

’lmagan, 

ya

’ni chiziqli bog’liqsiz 



а

1,

 



а

2  

vektorlarga aytiladi. 

Fazodagi  biror   



а

  vektorning   

3

2

1

,

,







а

а

а

   

bazislar  orqali 

yoyilmasi 



а

=



1



а

1

+ 



2 



а

2

+



3



а

3 

    (2)        

ko

’rinishda bo’lib, yagona bo’ladi. 

Agar 

 



а

 

 

vektorning 

koordinata 

o

’qlaridagi 

proyeksiyalarini x,y,z desak, 



а

=x



i

+y



j

+z



k

    yoki  



а

={x,y,z}, 



а

=(x

2

-x

1

) 



i

+ (y

2

-y

1

)

 



j

+(z

2

-z

1

)

 



k

     yoki  



а

= {x

2

-x

1,

y

2

-y

1,

z

2

-

z

1

} 

ko

’rinishlarda ham yozish mumkin. 



а

={x,y,z} vektor Ox,Ou,Oz  koordinata o

’qlari bilan mos 

ravishda 







,

,

 burchaklar tashkil qilsin. 

  



а

  vektorning  koordinata  o

’qlari  bilan  hosil  qilgan 

burchaklar  kosinuslariga  ya

’ni  cos



  ,cos



,cos



      larga   



а

  

vektorning yo

’naltiruvchi kosinuslari deyiladi. 

Proyeksiyalash 

qoidalaridan 

foydalansak 

chizmadan 

ko

’rinadiki 

 

x=a

x

=pr

Ox



а

=|



а

|cos



 ,       

2

2

2

cos

z

y

x

x

а

x













                 

z      



а

 

y=a

y

=pr

OU



а

=|



а

|cos



          

2

2

2

cos

z

y

x

y

а

y













              



   



        

                                                                            

x         



          y 

x=a

z

=pr

Oz



а

=|



а

|cos



           

2

2

2

cos

z

y

x

z

а

z













            

Misol. 

A(1,2,3)    B(2,4,5)    bo

’lsa, 



а

=





AB

  vektorning 

yo

’naltiruvchi kosinuslarini toping. 

Yechish. 





AB

={1;2;2}  ,  |





AB

|=3  ,  cos



=1/3    ;  cos



=2/3    ; 

cos



=2/3.