Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kramer formulasi va gauss usuli



Download 0,73 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/3
Sana25.12.2019
Hajmi0,73 Mb.
#31536
  1   2   3
Bog'liq
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. kramer formulasi va gauss usuli (1)


3-§. CHIZIQLI  ALGEBRAIK  TENGLAMALAR  SISTEMASI.  

KRAMER  FORMULASI  VA  GAUSS  USULI. 

 

Kramer formulasi. 

 

Faraz  qilaylik  birinchi  darajali,  ikkita  noma



’lumli 

ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo

’lsin: 

 







2

2

22



1

21

1



2

12

1



11

b

х

а

х

а

b

х

а

х

а

                  (1) 

 

(1) sistemaning 1-tenglamasini a

22

 ga, 2-tenglamasini -a



12 

ga 


ko

’paytirib qo’shsak  

(a

11

a



22

-a

12



a

21

)x



1

= b


1

a

22



-b

2

a



12           

  



21

12

22



11

12

2



22

1

1



a

a

a

a

a

b

a

b

x



  (2) 


 

Agar (1) sistemaning  1-tenglamasini -a

21

 ga, 2-tenglamasini  



a

11  


ga ko

’paytirib qo’shsak  

(a

11

a



22

-a

12



a

21

)x



2

= b


2

a

11



-b

1

a



21           

    



21

12

22



11

21

1



11

2

2



a

a

a

a

a

b

a

b

x



  (3) 


 

(2)  va  (3)  larga  e

’tibor  bersak  ikkinchi  tartibli 

determinantning ta

’rifiga ko’ra 

 

x



1

=



1



22

21

12



11

22

2



12

1

a



a

a

a



a

b

a



b

;         x

2

=



2



22

21

12



11

2

21



1

11

a



a

a

a

b

a

b

a

;                     

(4) 

 

(4) ga Kramer formulasi deyiladi. 



 

Misol.     

 

       1)  







1



3

8

5



2

y

x

y

x

   (x=-1; u=2),     2) 











7



3

2

3



5

2

2



9

2

3



5

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 , (x=1;y=-

2; z=-1). 

 

Agar uch noma



’lumli bir jinsli ikkita tenglamalar sistemasi 







0

0



2

2

2



1

1

1



z

c

y

b

x

a

z

c

y

b

x

a

               

berilgan bo

’lib, 


1

=



2

2

1



1

c

b

c

b

,   


2

=



2

2

1



1

а

с

а

с

 



3

=



2

2

1



1

b

a

b

a

 

determinantning loaqal bittasi noldan farqli bo



’lsa, u holda 

sistemaning barcha yechimlari                                            

x=



1



t,  y=

2



t,  z=

3



t      

formula bilan aniqlanadi. (t-ixtiyoriy son). 











0



0

0

3



2

1

2



2

2

1



1

1

z



c

y

d



x

a

z



c

y

b



x

a

z



c

y

b



x

a

       



Bu  sistemada 



0  bo



’lsa,  x=0  ,u=0  ,z=0    lar  sistemaning 

yagona yechimi bo

’ladi.  

Agar 


∆=0 bo’lsa, cheksiz ko’p yechimi bo’ladi. 

 

Misol.



 

1)







0



2

0

5



3

z

y

x

z

y

x

    (x=3t; u=4t;z=11t), 

 

2) 










0



3

7

3



0

2

4



0

z

y

x

z

y

x

z

y

x

    (x=2t;y=-3t; z=5t). 

 

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss  

usuli bilan yechish. 

 

     Quyidagi    n  ta  noma



’lumli  m  ta  chiziqli  tenglamalar 

sistemasi berilgan bo

’lsin: 

















m



n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

а

х

а

х

а

b

x

a

х

а

х

а

b

x

a

х

а

х

а

...


....

..........

..........

..........

..........

...


...

2

2



1

1

2



2

2

22



1

21

1



1

2

12



1

11

                (1) 



 

Endi  (1)  sistemani  Gauss  usuli  bilan  yechishga 

o

’taylik. 



Bu 

usulning 

mohiyati 

shundan 


iboratki 

noma


’lumlarni  ketma-ket  yo’qotib  ,berilgan  sistemaga  teng 

kuchli  bo

’lgan  uchburchak  (yoki  pog’onasimon)  ko’rinishdagi 

sistemaga 

keltiriladi. 

a

11



≠0  deb  (1)  ning  birinchi 

tenglamasini  a

11 

ga  bo


’lib,  so’ngra  uni  -a

21 


ga  ko

’paytirib, 

ikkinchi tenglamaga qo

’shamiz.  

Keyin  -a

31 


ga  ko

’paytirib,  uchinchi  tenglamaga  qo’shamiz  va 

shu  jarayonni  davom  ettiraversak  natijada    shunday  sistema 

hosil  bo

’ladiki,  u  sistemaning  faqat    birinchi  tenglamasida 

x

1



 qatnashib qolganlarida qatnashmaydi.  

   Shu  jarayonni  (1)  sistemaning  qolgan  tenglamalariga 

ketma-ket  tatbiq  etsak,  qo

’yidagi  ikkita  sistemaning 

bittasiga kelamiz. 

 















m

n

n

n

n

n

d

x

d

x

c

x

c

x

d

x

c

х

с

x

c

x

...


..........

..........

..........

..........

...

...


2

2

3



23

2

1



1

3

13



2

12

1



  (2) yoki 



















n

p

d

x

c

x

d

x

c

x

c

x

d

x

c

х

с

x

c

x

p

n

pn

p

n

n

n

n

...


.....

..........

..........

..........

...

...


2

2

3



23

2

1



1

3

13



2

12

1



 

(3) 


(2)  sistemaga    uchburchak  sistema  ,  (3)  ga  esa  po

g’onali 


sistema deyiladi.   

Agar  (1) sistema (2) ko

’rinishdagi  sistemaga keltirilsa, u 

holda  (1)sistema  birgalikda  bo

’lgan  sistema  bo’lib  yechimi 

yagona  bo

’ladi.  Agar(1)sistema  (3)  ko’rinishdagi  sistemaga 

keltirilsa  u  holda  (1)  sistema  birgalikda  bo

’lib,  yechimi 

cheksiz ko

’p bo’ladi. 

Misol. 1)  











39

16

25



5

18

12



14

3

0



13

7

2



3

2

1



3

2

1



3

2

1



x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Yechish.  a



11

=2

≠0  bo’lgani  uchun  birinchi  tenglamani  2  ga 



bo

’lamiz. 










39



16

25

5



18

12

14



3

0

2



/

13

2



/

7

3



2

1

3



2

1

3



2

1

x



x

x

x

x

x

x

x

x

 

Bu  sistemaning  1-tenglamasini  (-3)  ga  ko



’paytirib  2-

tenglamaga, (-5)ga ko

’paytirib 3-tenglamaga qo’shsak 









39

2



/

33

2



/

15

18



2

/

15



2

/

7



0

2

/



13

2

/



7

3

2



3

2

3



2

1

x



x

x

x

x

x

x

 

Endi 



0

2

7



22



a

  bo


’lgani  uchun  2-tenglamani 

2

7



  ga  bo

’lib  , 


so

’ngra uni 

2

15

 ga ko



’paytirib 3- tenglamadan ayirsak: 









7

3



7

3

7



36

7

15



0

2

13



2

7

3



3

2

3



2

1

/



/

/

/



/

/

x



x

x

x



x

x

        



       x


1

=-4;x


2

=3;x


3

=-1. 


2) 











2



1

5

2



1

4

2



3

2

1



3

2

1



3

2

1



x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

1-tenglamani (-2) ga ko



’paytirib 2-tenglamaga ,(-1) ga 

ko

’paytirib  



3-tenglamaga qo

’shsak         













3

3



3

3

3



3

1

4



2

3

2



3

2

3



2

1

x



x

x

x

x

x

x

     


     






1



1

4

2



3

2

3



2

1

x



x

x

x

x

 

x



2

=1+x


3

; x


1

=1-2-2x


3

+ 4x


3

-= 2x


3

-1. 


Shunday qilib     x

1

=2x



3

-1;   x


2

=1+x


3.

 

Demak  berilgan  sistema  cheksiz  ko



’p  yechimga  ega  ekan, 

chunki  x

3

    ga  ihtiyoriy  son  berib,  x



1

,  x


2

    larning  cheksiz 

ko

’p qiymatlarini hosil qilamiz. 



 

Misollar.  

 

51. 






81

7



2

13

5



3

y

x

y

x

   


52. 







18

4

3



6

4

3



y

x

y

x

   


53. 





40



5

4

7



2

3

y



x

y

x

 

 



54. 







ab



by

ax

by

ax

6

3



0

3

2



   

55. 






2

2



1

3

y



ax

y

ax

 

 



56. 







n

y

x

n

m

ny

mx

2

)



(

2

 



 

57. 








10



5

16

3



5

2

z



y

z

x

y

x

 

 



58. 











16

2

5



16

7

3



2

6

2



z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

59. 













0



4

3

4



0

5

4



5

0

2



3

2

z



y

x

z

y

x

z

y

x

 

 



60. 











2

5

3



3

4

2



1

3

4



2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

61. 











7



2

3

3



3

2

4



3

2

z



y

x

z

y

x

z

y

x

 

62. 











10



2

3

3



3

2

4



3

2

z



y

x

z

y

x

z

y

x

 

 



63. 











1

3

3



6

4

2



4

3

2



z

y

x

z

y

x

y

y

x

 

64. 











11



4

3

3



2

4

2



z

y

x

z

y

x

z

y

x

  

65. 











0



0

5

3



2

0

2



3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 



66. 









6

5

0



3

3

8



7

z

x

z

y

y

x

 

 



67. 











1

2



2

2

2



3

2

2



z

y

x

z

y

x

z

y

x

 

 



 

 

 



 

 


Download 0,73 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish