30
yozilgan nuqtadagi birinchi hosilalari,
i
i
y
x
~
,
~
- orqali esa baza nuqta va
«qoʻzgʻalgan» nuqtani tutastiruvchi kesmaning oraliq nuqtalari koordinata-
lari, yaʼni
x
va
y
oʻzgaruvchilari boʻyicha
h
,
hf
koordinat orttirmalariga
ega nuqta belgilangan.
(77) yoyilmani (68) yoyilmadan ((75)
yoyilma holida Eylerning
toʻgʻrilangan usuli uchun xuddi shu koʻrinishdagi aniqlikka ega) ayirib,
mos oʻxshashliklarga keltirib, (75) usulning lokal xatoligi uchun quyidagi
ifodaga kelamiz:
3
)
(
2
2
2
1
)
2
(
1
)
(
''
'
6
1
'
'
2
1
1
h
h
x
y
h
f
f
f
p
h
f
p
p
i
i
i
i
y
x
i
. (79)
Agar (76) shart bajarilsa, u holda (79) tenglikning oʻng tarafidagi
h
boʻyicha birinch va ikkinchi tartibgacha kichiklikka ega hadlar yoʻqoladi
va lokal xatolik
h
boʻyicha uchinchi tartibgacha kichiklikka ega had bilan
mos keladi. Eylerning toʻgʻrilangan usulidagi kabi koeffitsientning absoly-
ut miqdorini (72) va (78) formulalar yordamida baholab, (73) tengsizlikka
kelamiz.
Agar (76) shartlardan birortasi bajarilmasa, u holda (79) lokal xatolik
h
boʻyicha uchinchidan kichik tartibga ega va shuning uchun (73)
tengsizlik oʻrinli boʻla olmaydi.
15-izoh.
3-teoremaga va 13-izohga koʻra (76) shart bajarilganda (75)
hisob formulali usul ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻladi.
16-izoh.
p
2
parametrning nol qiymati (76) tenglamaning oʻng
tomonini qanoatlantirmaydi. Bu holni chiqarib tashlab, shu tenglamadan
ning
p
2
parametr orqali ifodasiga kelamiz. Bunda tashqari (76) tenglaman-
ing chap tomoni
p
1
parametrni
p
2
parametr orqali
ifodalash imkonini be-
radi. Bu ifodalarni (75) ifodaga qoʻysak, quyidagi ikkinchi tartibli aniqlik-
ka ega bir parametrli hisob formulalari oilasiga kelamiz:
)
,
(
2
,
2
)
,
(
)
1
(
2
2
2
2
1
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
p
h
y
p
h
x
f
p
y
x
f
p
h
y
y
.
Bu yerda
p
2
parametrga noldan farqli biror fiksirlangan haqiqiy qiymat
berib, bu oilaning aniq hisob formulasini hosil qilamiz.
17-izoh.
(75) toʻr yechimni geometrik jihatdan topishda Eylerning
toʻgʻrilangan usulini oʻrganishda tavsiflangan qurish uslubidan foydalanish
mumkin (4-lemmaga va undan oldingi fikrlarga qarang).
Faqatgina farq
shundaki, bunda kenglikning ikkinchi urinma oʻtkaziladigan nuqtasi sifati-
da
))
,
(
,
(
i
i
i
i
y
x
hf
y
h
x
nuqta olinadi, urinmalar burchak koeffitsiyen-
larining oʻrta arifmetigi qiymati sifatida esa ularning oʻrta algebraik
qiymat, yaʼni quyidagi chiziqli kombinatsiya qiymati olinadi:
31
2
2
1
1
tg
p
tg
p
tg
,
bu yerda
p
1
+
p
2
=1.
18-izoh.
(75) usullar Runge-Kutta usullari oilasiga kiradi va (76)
shartlar bajarilganda ular ikkinchi tartibli aniqlikka ega usullar qism
oilasini tashkil etadi. Bu usulning gʻoyasi 1885 yilda Karl Runge tomoni-
dan kiritilda va 1901 yilda Vilgelm Kutta tomonidan rivojlantirildi. Bu bir
qadamli usullarning keng oilasi yuqori tartibli aniqlikka ega usullarni (bu
usullarning baʼzilari uchinchi va baʼzilari esa toʻrtinchi
tartibli aniqlikka
ega) ham oʻz ichiga oladi.
Uchinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (
i
+1)-qadamida
quyidagi miqdorlar ketma-ket hisoblanadi:
),
2
,
(
),
2
,
2
(
),
,
(
2
1
3
1
2
1
hk
hk
y
h
x
f
k
k
h
y
h
x
f
k
y
x
f
k
i
i
i
i
i
i
(80)
buning geometrik nuqtai nazardan maʼnosi shuki, bu miqdorlar differensial
tenglama yechimining grafigiga (
x
i
,
y
i
) nuqtada oʻtkazilgan urinmaning
burchak koeffitsiyentini va (80) ifodaning ikkinchi va uchinchi oʻrnida
turgan kengliklar nuqtalarining koordinatalarini ifodalaydi. Shundan keyin
x
i
+1
tugundagi toʻr yechim quyidagi formula bilan hisoblanadi:
)
4
(
6
3
2
1
1
k
k
k
h
y
y
i
i
. (81)
Bu geometrik nuqtai nazardan shu maʼnoni bildiradiki, (
x
i
,
y
i
) nuqta
orqali oʻrtalashtirilgan
koeffitsiyentlari
6
1
,
6
4
,
6
1
boʻlgan (80) algebraik
oʻrta miqdoriga teng burchak koeffisiyentli toʻgʻri chiziq oʻtkaziladi va
x
i
+1
tugundagi toʻr yechim sifatida bu toʻgʻri chiziqning
x
i
+1
tugun orqali ordi-
nata oʻqiga parallel ravishda oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtas-
ining ordinatasi olinadi.
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega usul algoritmining (
i
+1)-qadamida
dastlab quyidagi miqdorlar hisoblanadi:
),
2
,
2
(
),
,
(
1
2
1
k
h
y
h
x
f
k
y
x
f
k
i
i
i
i
),
,
(
),
2
,
2
(
3
4
2
3
hk
y
h
x
f
k
k
h
y
h
x
f
k
i
i
i
i
(82)
keyin esa toʻr yechim quyidagi formuladan topiladi:
)
2
2
(
6
4
3
2
1
1
k
k
k
k
h
y
y
i
i
. (83)
Do'stlaringiz bilan baham: