|
3-xulosa.
Algoritmning (
i
+1)-chi qadamida
x
i
+1
tugunda topilgan
y
i
+1
toʻr yechimning xatoligi (32) yigʻindi boʻlib, bu (33) va (34) larning
yigʻindisidan tashkil topgan, ularning birinchisi algoritmning oldingi
qadamlarida yoʻl qoʻyilgan lokal xatoliklar taʼsirini ifodalaydi, ikkinchisi
esa (
i
+1)-chi qadamdagi lokal xatolik.
Endi lokal xatolikni baholaylik.
2-lemma.
Eyler oshkor usulining (
i
+1)-chi qadamdagi lokal xatoligi
uchun quyidagi ifoda oʻrinli:
1
0
,
2
1
2
)
(
)
2
(
1
i
i
i
i
i
h
h
x
y
. (35)
Isbot.
(34) formuladagi
)
(
1
)
(
i
i
x
y
miqdorni Teylor formulasi boʻyicha
yoyamiz,
1
i
y
miqdorni esa (12) – Eylerning oshkor usuli formulasiga koʻra
almashtiramiz. Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:
,
)
,
(
2
1
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
2
(
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
hf
y
h
h
x
y
h
x
y
x
y
(36)
bu yerda
i
– nol va bir orasidagi haqiqiy son. (15) va (16) ga koʻra
.
)
,
(
))
(
,
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
x
y
x
f
x
y
y
x
y
(37)
18
Bu qiymatlarni (36) ga qoyib, oʻxshash hadlarni ixchamlasak, (35)
kabi ifodani beradi.
1-natija.
Ixtiyoriy
i
= 0, 1, …,
N
–1 lar uchun quyidagi baholash
oʻrinli:
,
2
1
2
1
3
2
)
2
(
1
h
M
M
M
i
(38)
bu yerda
M
1
,
M
2
,
M
3
– (29)-(31) shartlardagi oʻzgarmaslar.
Isbot.
(35) ifodadan quyidagiga ega boʻlamiz:
.
2
1
2
)
(
)
2
(
1
h
h
x
y
i
i
i
i
(39)
Bu munosabatga kiruvchi
y
(
i
)
yordamchi yechimning ikkinchi hosilasi
modulini baholaylik.
(15) tenglikni
x
boʻyicha differensiallaymiz, keyin esa shu tenglikdan
yana bir bor foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
i
i
y
i
x
i
i
y
i
x
i
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
,
,
,
.
Bu yerdan (29)-(31) shartlarga koʻra ixtiyoriy
x
[
x
0
,
x
0
+
L
] uchun quyidagi
tengsizlik oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:
.
1
3
2
)
(
M
M
M
x
y
i
Bu tengsizlikda
h
x
x
i
i
deb olib va natijani (39) tenglik bilan
solishtirib, (38) tengsizlikka kelamiz.
4-xulosa.
Ixtiyoriy
i
= 0, 1, …,
N
–1 lar uchun
)
2
(
1
i
lokal xatolik
quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
,
2
)
2
(
1
Mh
i
(40)
bu yerda
M
– oʻzgarmas boʻlib,
M
1
,
M
2
,
M
3
lar orqali quyidagicha ifodala-
nadi:
M
= (
M
2
+
M
3
M
1
)/2. (41)
Boshqacha qilib aytganda, barcha lokal xatoliklarning moduli
h
boʻyicha
ikkinchi tartibli kichiklikka ega cheksiz kichik miqdor bilan baholanadi.
Endi jamlangan xatoliklarni tadqiq qilishga oʻtaylik.
Maʼlumki, yuqorida aytib oʻtilganidek,
)
1
(
1
i
xatolik
x
i
tugundagi toʻr
yechimning noldan farqli
i
xatoligi tufayli paydo boʻladi, shuning uchun
)
1
(
1
i
xatolikni
i
xatolik orqali ifodalashga harakat qilaylik. Shuni
taʼkidlaymizki,
i
xatolik (1) differensial tenglamaning
x
i
nuqtadagi ikkita
y
va
y
(
i
)
yechimlari orasidagi farq,
)
1
(
1
i
miqdor esa xuddi shu yechimlarning
x
i
+1
nuqtadagi farqi (9-rasm). Shuning uchun differensial tenglamalar naz-
ariyasidagi quyidagi dalilga tayanamiz.
19
3-lemma.
Faraz qilaylik,
y
I
,
y
II
– berilgan (1) differensial tenglaman-
ing ikkita yechimi,
,
(
<
) – berilgan [
x
0
,
x
0
+
L
] kesmaning ikkita
nuqtasi boʻlsin (10-rasm). U holda bu yechimlarning
,
nuqtalardagi
farqi quyidagi munosabat bilan bogʻlangan:
dx
x
y
x
f
y
y
y
y
y
II
I
II
I
))
(
,
(
exp
)
(
)
(
)
(
)
(
, (42)
bu yerda
)
(
x
y
– ikkita
y
I
(
x
),
y
II
(
x
) yechimlarning oraliq qiymati.
Isbot.
Faraz qilaylik, ushbu
z
(
x
) =
y
I
(
x
) –
y
II
(
x
) (43)
miqdor bu yechimlarning farqi boʻlsin. Bu miqdor qaysi differensial
tenglamani qanoatlantirishini aniqlaylik.
(43) dan hosila olamiz, oʻrniga qoʻyishlardan keyin quyidagiga ega
boʻlamiz:
z
(
x
) =
f
(
x
,
y
I
(
x
)) –
f
(
x
,
y
II
(
x
)). (44)
Bu tenglikning oʻng tarafiga Lagranjning chekli orttirmalar formu-
lasini
y
oʻzgaruvchi boʻyicha qoʻllaymiz, natijada:
f
(
x
,
y
I
(
x
)) –
f
(
x
,
y
II
(
x
)) =
f
y
(
x
,
)
(
x
y
)
(
y
I
(
x
) –
y
II
(
x
)). (45)
(45) va (43) formulalarni hisobga olib, (44) formuladan quyidagi
tenglikni keltirib chiqaramiz:
z
(
x
) =
c
(
x
)
z
(
x
) , (46)
bu yerda
c
(
x
) funksiya oqrali quyidagi funksiya belgilangan:
c
(
x
) =
f
y
(
x
,
)
(
x
y
) , (47)
y
I
,
y
II
yechimlarni har xil deb hisoblaylik (agar ular oʻzaro mos boʻlsa
(42) tenglikning toʻgʻriligi koʻrinadi). Aslida bu yechimlarning qiymatlari
[
,
] kesmaning biror nuqtasida ham mos tushmaydi, chunki agar
y
I
(
x
*
) =
y
II
(
x
*
) =
y
*
tenglik oʻrinli boʻlganda edi, qaralayotgan differensial tenglama
bilan berilgan Koshi masalasi ushbu
y
(
x
*
) =
y
*
boshlangʻich shartda ikkita
har xil yechimga ega boʻlgan boʻlardi, bu esa berilgan tenglamaning oʻng
tarafiga nisbatan farazimizga zid boʻlib chiqadi. Natijada (43) ifoda nolga
aylanmaydi, shuning uchun, birinchidan, (46) tenglikni quyidagicha yozib
olish mumkin:
)
(
)
(
)
(
x
c
x
z
x
z
, (48)
ikkinchidan,
c
(
x
) uchun (47) ni (45) yordamida quyidagicha yozish mum-
kin:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
,
(
))
(
,
(
)
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
x
y
x
f
x
c
II
I
II
I
II
I
II
I
.
20
Bu yerdagi
c
(
x
) funksiyanig uzluksizligi haqida xulosa chiqarish uchun
ikkita uzluksiz funksiyalar nisbatidagi maxraj nolga aylanmasligi lozim.
Oxirgi xulosa (48) differensial tenglamaning har ikkala tarafidan [
,
] kesma boʻyicha aniq integral olishga imkon beradi, natija quyidagi
tenglikni beradi:
dx
x
c
dx
x
z
x
z
)
(
)
(
)
(
.
Chap tarafdagi integralni
z
oʻzgaruvchi boʻyicha integral deb yozish mum-
kin (haqiqatdan ham, integrallash oʻzgaruvchilarini almashtirish orqali):
dx
x
c
z
dz
z
z
)
(
)
(
)
(
.
Bu integralni Nyuton-Leybnits formulasi boʻyicha hisoblab, quyidagi
tenglikka kelamiz:
dx
x
c
z
z
)
(
)
(
ln
)
(
ln
yoki
dx
x
c
z
z
)
(
)
(
)
(
ln
,
bu yerda
z
funksiya musbat, aks holda
y
I
,
y
II
yechimlar teskari nomer-
lanadi.
Bu yerdan logarifning taʼrifiga koʻra quyidagi munosabatga kelamiz:
dx
x
c
z
z
)
(
exp
)
(
)
(
yoki
dx
x
c
z
z
)
(
exp
)
(
)
(
.
Bu esa (43) va (47) larga koʻra (42) ni beradi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
