Book · September 018 citations reads 15,623 authors

2-natija.
(
i
+1)-chi qadamning 
)
1
(
1

i

jamlangan xatoligi 
x
i
tugundagi 
y
i
toʻr yechimning 

i
xatoligi orqali quyidagi tengsizlik bilan baholanadi: 
i
i
h
M





)
exp(
3
)
1
(
1
, (49) 
bu yerda 
h
– toʻr qadami, 
M
3
– (31) shartdan olingan oʻzgarmas. 
Isbot.
(42) formulada 
y
I
, 
y
II
yechimlar sifatida izlanayotgan 
y
yechimni va 
y
(
i
)
yordamchi yechimni, 

,
 

sifatida esa 
x
i
, 
x
i
+1
tugunlarni 
qabul qilaylik. Maʼlumki, bu yechimlarning 
x
i
tugundagi farqi 
y
i
toʻr 
yechimning 

I
xatoligiga teng, shu yechimlarni 
x
i
+1
tugundagi farqi esa 

---

21 
(
i
+1)-chi qadamning 
)
1
(
1

i

jamlangan xatoligi. (42) formuladan quyidagiga 
ega boʻlamiz: 

















dx
x
y
x
f
y
i
i
))
(
,
(
exp
)
1
(
1

. 
Bu yerdan absolyut miqdorlarga oʻtamiz, eksponentaning musbat 
ekanligidan, 














1
))
(
,
(
exp
)
1
(
1
i
i
x
x
y
i
i
dx
x
y
x
f



. 
(49) baholash uhbu 


h
M
x
x
M
dx
M
dx
x
y
x
f
dx
x
y
x
f
dx
x
y
x
f
i
i
x
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
i
i
i
i
i
i
i
i
3
1
3
3
1
1
1
1
))
(
,
(
))
(
,
(
))
(
,
(





















munosabatlar zanjiridan va eksponentaning monoton oʻsuvchi funksiya 
ekanligidan kelib chiqadi: 
Shunday qilib, (40) va (49) baholashlarni ketma-ket qoʻllash bilan 
Eyler oshkor usulining yaqinlashuvchanligini oʻrnatish mumkin. 
1-teorema.
Quyidagi tengsizlik oʻrinli: 
,
,...,
1
,
0
,
)
,
,
(
3
2
1
N
i
h
M
M
M
C
i




(50) 
bu yerda 
C
– oʻzgarmas boʻlib, (29)-(31) shartlardagi 
M
1
,
M
2
,
M
3
oʻzgarmaslar va 
L
– integrallash kesmasining uzunligi orqali topiladi. 
Isbot.
x
0
tugundagi toʻr yechimning xatoligi uchun quydagi tenglik 
oʻrinli: 
0
0


. 
x
1
tugunda jamlangan xatolik boʻlmaydi, shuning uchun (40) ga koʻra 
quyidagini yoza olamiz: 
2
)
2
(
1
1
Mh




. 
x
2
tugundagi xatolik uchun (40) va (49) larni e’tiborga olib quyidagiga 
ega boʻlamiz: 
.
)
1
)
(exp(
)
exp(
)
exp(
2
3
2
2
3
2
1
3
)
2
(
2
)
1
(
2
)
2
(
2
)
1
(
2
2
Mh
h
M
Mh
Mh
h
M
Mh
h
M



















Xuddi shunday, 
x
3
tugun uchun quyidagi tengsizlikka ega boʻlamiz: 
.
)
1
)
exp(
)
2
(exp(
)
1
)
(exp(
)
exp(
)
exp(
2
3
3
2
2
3
3
2
2
3
)
2
(
3
)
1
(
3
)
2
(
3
)
1
(
3
3
Mh
h
M
h
M
Mh
Mh
h
M
h
M
Mh
h
M























Endi oydinki, munosabatlani xuddi shunday davom ettirib, quyidagi 
tengsizlikka kelamiz: 

---

22 


2
3
3
3
3
1
)
exp(
)
2
exp(
...
)
)
2
exp((
)
)
1
exp((
Mh
h
M
h
M
h
M
i
h
M
i
i











Hosil qilingan bu tengsizlikning oʻng tarafidagi qavs ichida chekli ge-
ometrik progressiyaning hadlari yigʻindisi yozilgan boʻlib, uning maxraji 
q
= exp(
M
3
h
) ga teng. Bu yigʻindi uchun quyidagi ifodadan foydalanamiz: 
.
1
)
exp(
1
)
exp(
)
exp(
1
)
exp(
1
1
1
3
3
3
3










h
M
h
M
i
h
M
h
M
i
q
q
i
Bu yerdan esa quydagi tengsizlikni hosil qilamiz: 
.
1
)
exp(
1
)
exp(
2
3
3
Mh
h
M
h
M
i
i





(51) 
Shuni taʼkidlaymizki, progressiya hadlarining yigʻindisi formulasida 
surat va maxrajning musbatligini taʼminlash uchun qoʻshiluvchilarning 
oʻrnini ham suratda va ham maxrajda almashtirdik. 
(51) shartni kuchaytiramiz, buning uchun undagi kasrning suratini un-
dan katta boʻlgan songa, maxrajini esa undan kichik boʻlgan songa al-
mashtiramiz. Buning uchun suratdagi 
i
indeksni uning maksimal qiymati 
N
bilan almashtiramiz hamda (3) dan kelib chiquvchi 
Nh = L
tenglikdan foy-
dalanib, surat uchun exp(
M
3
h
) – 1 dan kattaroq boʻlgan songa ega 
boʻlamiz. Maxrajdagi exp(
M
3
h
) miqdorni esa eksponenta uchun qatorga 
yoyib, ulardagi 1 birlikni qisqartirib, natijada quyidagi munosabatga ke-
lamiz: 
....
)
(
!
3
1
)
(
!
2
1
!
1
1
3
3
2
3
3



h
M
h
M
h
M
, 
bu 
yerda 
ikkinchi 
qoʻshiluvchidan 
boshlan 
barcha 
keyingilari 
qoʻshiluvchilar 
M
3
h
dan kichik.
Natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz: 
.
1
)
exp(
1
)
exp(
3
3
2
3
3
h
M
L
M
M
Mh
h
M
L
M
i





Bu olingan baholash (50) baholashning aynan oʻzi, bunda (41) ga 
koʻra 
C
oʻzgarmas quyidagiga teng: 


1
)
exp(
2
1
3
3
1
3
2





L
M
M
M
M
M
C
. (52) 
3-natija.
Maʼlumki, (50) baholashning oʻng tarafiga koʻra (52) 
oʻzgarmas 
i
dan bogʻliq emas, shuning uchun quyidagi baholash oʻrinli: 
Ch
i
N
i



,..,
1
,
0
max
. (53) 

---

23 
Bu baholashdan toʻr qadamining nolga intilishi bilan toʻr yechimi xatolig-
ining ham nolga intilishi (bunda u toʻr tugunlari boʻylab nolga tekis yaqin-
lashadi) haqidagi (28) munosabat kelib chiqadi.
9-izoh.
Agar 
M
1
,
M
2
,
M
3
oʻzgarmaslar maʼlum boʻlsa, u holda toʻr 
yechimni talab qilingan 
*

aniqlik bilan olish uchun ushbu 
Ch

*

yoki xuddi shu kabi 
CL
/
N

*

tengsizlikni yechish talab qilinadi; bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi 
kesmalarni boʻlishlar soni 
N
da toʻrning ixtiyoriy tugunida toʻr yechim 
xatoligining absolyut miqdori 
*

aniqlikdan oshib ketmaydi, bu (53) 
munosabatdan ham kelib chiqadi. 
Agar koʻrsatilgan oʻzgarmaslar nomaʼlum boʻlsa (bu hol amaliyotda 
tez-tez uchraydi), u holda talab qilingan 
N
qiymatni izlash uchun 
Runge 
qoidasi
deb ataluvchi maxsus qoidadan foydalaniladi; bu qoidaga koʻra 
kesmani boʻlishlar soni har safar ikkilantirib boriladi va har safar berilgan 
aniqlikni taʼminlovchi 
N
qiymatni topish uchun olingan toʻr yechimlar 
taqqoslanib boriladi. 
5. Runge-Kutta usullari 
Yuqorida tavsiflangan Eylerning oshkor va oshkormas usullari 
bir 
qadamli usullar
sinfiga kiradi. Bu usullarning bunday deb atalishining 
sababi bu formulalar toʻrning yonma-yon ikkita tugunidagi toʻr yechimlar-
ni oʻz ichiga olishi va ularning oldingi tugunda berilgan toʻr yechimdan 
foydalanib navbatdagi tugundagi toʻr yechimni topish imkonini berishi. 
Bir qadamli usullarning yana boshqalari bu 
Eylerning toʻgʻrilangan
va 
modifikatsiyalangan usullaridir
. 
Eylerning toʻgʻrilangan usuli 
quyidagi munosabatlar bilan beriladi: 
y
0
– berilgan,
 


)
,
(
,
(
)
,
(
2
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
hf
y
x
f
y
x
f
h
y
y






,
i
= 1,2, …, 
N
–1.(54) 
Eylerning modifikatsiyalangan usuli 
esa quyidagi munosabatlar bilan 
beriladi: 
y
0
– berilgan,
 











)
,
(
2
,
2
1
i
i
i
i
i
i
y
x
f
h
y
h
x
hf
y
y
,
i
= 1, 2, …, 
N
–1. (55) 
Bu usullarda oldingi qadamda hisoblangan 
y
i
yechimdan foydalanib 
y
i
+1
tugun yechimni topish ikki bosqichda bajariladi.

---

24 
Eylerning toʻgʻrilangan
usulida
avvalo oldingi qadamdagi 
y
i
ning 
qiymati yuqorida tavsiflangan ushbu 
)
,
(
1
i
i
i
i
y
x
hf
y
y



(56) 
Eylerning oshkor usuli
formulasidan topiladi, undan keyin esa uning 
x
i
+1
tugundagi toʻr yechimi quyidagi formuladan foydalanib topiladi: 


)
,
(
)
,
(
2
1
1
1






i
i
i
i
i
i
y
x
f
y
x
f
h
y
y
. (57) 
Eylerning modifikatsiyalangan usuliga
koʻra dastlab 
Eylerning oshkor 
usuli
formulasi boʻyicha quyidagi yordamchi toʻr yechim
 i
+1/2 «yarim bu-
tun» nomer bilan 
x
i
+1/2
=
x
i
+
h
/2 oraliq tugunda topiladi: 
)
,
(
2
2
1
i
i
i
i
y
x
f
h
y
y



, 
keyin esa izlanayotgan 
y
i
+1
toʻr yechim quyidagi formula boʻyicha 
hisoblanadi: 
)
,
(
2
1
2
1
1





i
i
i
i
y
x
hf
y
y
. 
Eylerning toʻgʻrilangan
usulining
geometrik maʼnosi quyidagicha 
(10-rasm). 
(1)
differensial 
tenglamaning 
y
(
i
)
va 
ȳ
(
i
+1)
yechimlarining (
x
i
,
y
i
) va 
(
x
i
+1
,
ȳ
i
+1
) nuqtalar orqali oʻtuvchi mos 
grafiklarini chizamiz, bunda 
ȳ
i
+1
ning 
qiymati (56) formula boʻyicha hisobla-
nadi, 

1
, 

2
lar orqali esa koʻrsatilgan 
nuqtalarda shu grafiklarga oʻtkazilgan 
urinmalarning
x
oʻq bilan tashkil 
10-rasm. 
qilgan mos burchaklarini belgilaymiz. Keyin esa (
x
i
,
y
i
) nuqta orqali 
x
oʻq 
bilan 

burchak tashkil etuvchi shunday 
l
toʻgʻri chiziq oʻtkazamizki, un-
ing burchak koeffisiyenti, yaʼni tangensi 

1
, 

2
burchaklar tangenslarining 
oʻrta arifmetigiga teng boʻlsin: 


2
1
2
1



tg
tg
tg


. 
4-lemma.
l
toʻgʻri chiziqning 
x
i
+1
tugun orqali oʻtuvchi va ordinata 
oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi Eylerning 
toʻgʻrilangan usuli orqali 
x
i
+1
tugunda topilgan toʻr yechimi qiymati bilan 
mos keladi. 
Isbot. 
l
toʻgʻri chiziqning tenglamaini quyidagicha yozamiz: 
i
i
y
x
x
tg
x
y



)
)(
(
)
(


. 

---

25 
Maʼlumki, 
 










,
,
2
1
,
2
1
)
(
,
2
1
)
(
,
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
2
1
2
1
1
1
1
)
1
(
1
)
(
1
)
1
(
)
(
2
1


















i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
y
tg
tg
tg



qaralayotgan toʻgʻri chiziqning tenglamasini quydagicha yozish mumkin: 

 



i
i
i
i
i
i
y
x
x
y
x
f
y
x
f
x
y






)
(
,
,
2
1
)
(
1
1

. 
Bu yerda 
x 
= 
x
i
+1
kabi belgilash kiritib, 
x
i
+1
– 
x
i
= 
h
ekanligidan 
quyidagi miqdorni hosil qilamiz: 

 



1
1
1
,
,
2
)
(






i
i
i
i
i
i
y
x
f
y
x
f
h
y
x
y

, 
bu esa (57) ga koʻra oʻz navbatida 
y
i
+1
toʻr yechimga mos keladi. 
10-izoh. 
Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida 
y
i
+1
yechimni topish 
uchun izlanayotgan yechimning [
x
i
,
x
i
+1
] kesmadagi grafigi Eylerning osh-
kor usulidagi kabi (
x
i
,
y
i
) nuqtadan oʻtuvchi boʻlagi bilan almashtiriladi. 
Ammo bu boʻlakning qiyaligini tanlash ancha mushkul, chunki Eylerning 
oshkor usuli yordamida (
x
i
,
y
i
) nuqtaga qoʻshimcha ravishda (
x
i
+1
,
ȳ
i
+1
) nuqta 
ham quriladi va bu qiya chiziqning absissa oʻqi bilan hosil qilgan burchagi 
tangensi deb berilgan differensial tenglamaning shu nuqtalardan oʻtuvchi 
yechimlari grafiklariga oʻtkazilgan urinmalarning absissa oʻqi bilan hosil 
qilgan burchaklari tangenslarining oʻrta arifmetigi olinadi.
Yana bir bor taʼkidlaymizki, bu burchaklarning oʻzlari emas, balki 
ularning tangenslari oʻrtalashtiriladi.