|
20-izoh.
Yuqorida chiqarilgan fikrlar toʻr yechimni koʻrsatish va uni
hosil qilishni aniqlashtirishning uslublarini ochib beradi.
Aynan, agar (85) tenglikdan
c
(
h
/2)
m
ni ifodalab olsak va uning na-
tijasini (84) formulalardan ikkinchisiga qoʻysak, u holda quyidagi
tenglikka ega boʻlamiz:
33
m
h
N
h
N
m
h
N
h
o
y
y
y
L
x
y
,
2
/
,
2
2
/
,
2
0
1
2
1
)
(
,
bu shuni bildiradiki, katta qavs ichidagi miqdor
)
(
0
L
x
y
uchun
2
/
,
2
h
N
y
ga
nisbatan eng yaxshi yaqinlashish, chunki bu miqdorning xatoligi
o
(
h
m
)
tartibli cheksiz kichiklikka ega, u holda toʻr yechimning xatoligi ham
o
(
h
m
)
tartibga ega.
Toʻr yechimni bunday aniqlashtirish uslubi 1910 yilda ingliz geofizigi
L.Richardson tomonidan taklif etilgan boʻlib, u
Richardson boʻyicha
aniqlashtirish
yoki
Richardson ekstrapolyatsiyasi
deb ataladi.
21-izoh.
Runge-Kutta usullari nafaqat Koshi masalasini yechishda,
balki birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi uchun yozilgan
chegaraviy masalalarni yechishda ham qoʻllanilishi mumkin. Bunda che-
garaviy masalani yechish qoidalari
o'q otish usuli
deb ataluvchi Koshi ma-
salasini ketma-ket yechish usuliga keltiriladi.
Masalan, ushbu
,
)),
(
),
(
,
(
)
(
'
)),
(
),
(
,
(
)
(
'
0
2
1
2
2
2
1
1
1
L
x
x
x
x
y
x
y
x
f
x
y
x
y
x
y
x
f
x
y
o
(87)
)
(
,
)
(
0
2
0
1
L
x
y
x
y
, (88)
xuddi shu differensial tenglamalar sistemasi uchun ushbu
)
(
,
)
(
0
2
0
1
x
y
x
y
, (89)
boshlangʻich shartli Koshi masalasi qaraladi. (89) dagi ikkinchi bosh-
langʻich shartning oʻng tomonidagi
shunday tanlanadiki, bunda
y
2
(
)
yechim Koshi masalasini (88) ning ikkinchi chegaraviy sharti boʻyicha
qanoatlantirsin:
)
,
(
0
2
L
x
y
;
bularga koʻra
y
1
(
) va
y
2
(
) yechimlar chegaraviy masalaning izlanayotgan
yechimlari boʻladi.
Absrakt nuqtai nazardan
ni tanlash masalasi quyidagi funksiyaning
ildizini topish masalasidir:
)
,
(
)
(
0
2
L
x
y
.
Bu tenglamani yechish uchun oraliqni teng ikkiga boʻlish usulidan
foydalanamiz. Bu maqsadda
1
,
1
(
1
<
1
) qiymatlar shunday tanlanadiki,
[
1
,
1
] kesmaning oxirlarida
Ф
funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul
qilsin. Bu hoda
Ф
funksiyaning uzluksizligidan (faraz qilamizki, Koshi
masalasi yechimining boshlangʻich shartlarning oʻng tarafidan bogʻliqlik
ifodasi uzluksiz boʻlsin) bunday kesma izlanayotgan ildizni oʻz ichiga
oladi. Kesmani
1
nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va [
1
,
1
] ,[
1
,
1
]
kesmalardan birini shunday tanlaymizki, tanlangan kesmaning oxirlarida
34
Ф
funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin. Tanlangan kesmani [
2
,
2
] kesma deb belgilab, uni
2
nuqta bilan teng ikkiga boʻlamiz va hokazo.
Bu jarayonning qaysidir bir qadamida [
n
,
n
] kesmaning uzunligi ildizni
topishning mumkin boʻlgan xatoligidan kichikligi kelib chiqsa, hisob ja-
rayoni toʻxtatiladi va oxirgi kesma
n
ning oʻrtasi izlanayotgan
ning
qiymatiga yaqinlashish sifatida deb qabul qilinadi.
0
)
(
tenglamani yechishning boshqa usullari bilan tavsiya etilgan
adabiyotlar orqali tanishish mumkin.
Quyida bir qadamli usullarning yana bir guruhi –
yechimni Teylor qa-
toriga yoyish usullari
bilan tanishaylik.
Bunday usulning gʻoyasini ikkinchi tartibli aniqlikka ega usul misol-
ida tushuntiraylik.
Berilgan differensial tenglamaning
y
(
i
)
yordamchi yechim uchun
chiqarilgan (62) Teylor yoyilmasini qaraymiz, undagi uchinchi tartibli
kichiklikka ega hadni tashlab yuboramiz va hosil boʻlgan miqdorni
x
i
+1
tugundagi toʻr yechim deb qabul qilamiz. Boshqacha qilib ayganda,
quyidagini yozamiz:
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
''
2
1
)
(
'
)
(
h
x
y
h
x
y
x
y
y
i
i
i
i
i
i
i
.
Bu yerda
y
(
i
)
funksiyaning va uning x
i
nuqtadagi hosilalarinining qiymatini
(63) va (65) formulalar yordamida almashtirib, quyidagi hisob formulasiga
kelamiz:
2
1
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
2
1
)
,
(
h
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
hf
y
y
i
i
i
i
y
i
i
x
i
i
i
i
.
Analitik nuqtai nazardan chiqarilgan fikrlar shuni anglatadiki, [
x
i
,
x
i
+1
]
kesmada
y
(
i
)
yordamchi yechimni ikkinchi tartibli hosilasi
y
(
i
)
yordamchi
yechimning
x
i
nuqtadagi hosilasi bilan mos keluvchi ikkinchi tartibli
koʻphad bilan almashtirni anglatadi, geometrik nuqtai nazardan esa bu
y
(
i
)
yechimning grafigini grafigi (
x
i
,
y
i
) nuqtadan oʻtuvchi, shu nuqtada
y
(
i
)
umumiy yechim bilan bir xil urinmaga va bir xil egrilik radiusiga (bunday
holda ikkita egri chiziqning oʻzaro urinishi «
ikkichi tartibli urininsh
» deb
taladi) ega parabola bilan almashtiriladi. Bunda
y
i
toʻr yechim sifatida bu
koʻphadning
x
=
x
i
+1
nuqtadagi yoki geometrik atamada - bu
x
i
+1
tugundan
oʻtuvchi va ordinata oʻqiga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziqning shu parabola
bilan kesishish nuqtasining ordinatasi qabul qilinadi.
Bu
m
-tartibli aniqlikka ega usulga oʻxshash usulning hisob formulasi
differensial tenglamaning oʻng tomonidagi
f
funksiyaning (
m
-1)-
tartibgacha hosilalarini oʻz ichiga oladi. Bu hosilalarning
x
i
nuqtadagi
35
qiymatlarini hisoblash algoritmning (
i
+1)-qadamidagi assosiy hisoblash-
larni tashkil qiladi.
m
-ning oshib borishi bilan bu hosilalarning soni tez
oʻsib boradi, usul ham shuncha murakkablashadi, ammo yechimni Teylor
qatoriga yoyish usuli bu maʼnoda xuddi shu tartibli Runge-Kutta usulidan
ustun emas. Shuning uchun amaliyotda yechimni Teylor qatoriga yoyish
usulidan nisbatan kam foydalaniladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
