Bitiruv malakaviy ishi

Teorema 1.

K x

butunlik sohasi bo‘lar ekan shuning

Butunlik sohasi ustidagi ko‘phadlar halqasining o‘zi ham butunlik sohasi bo‘ladi.

Ko‘phadlar halqasida bo‘lish amali agar uni odatdagi ma'noda qaralsa, bajarilmaydi.

Masalan:

Rx

halqada

^x2 ko‘phadni

x 1

ko‘phadga bo‘lib bo‘lmaydi, ya'ni

_x²  g(x)(x  1)

tenglikni qanoatlantiruvchi

g(x)

ko‘phad mavjud emas. (agar

bunday ko‘phad mavjud bo‘lganda edi, u holda

x  1

bo‘lganda

1  g(1)  0

noto‘g‘ri tenglikka ega bo‘lar edik ) shuning uchun ko‘p hollarda «qoldiqli bo‘lish» deb ataluvchi amal bajariladi. Bu amal haqida keyinroq batafsil

to‘xtalamiz. Hozir esa uning hususiy holi bo‘lgan bo‘lishni ko‘rib chiqamiz.

Teorema 2.

x  x₀

ikki hadga qoldiqli

uchun

f (x)
f (x)

– koeffitsiyentlari ^K halqadan olingan ko‘phad bo‘lsin. ^{x0  K}

ko‘phadni yagona usulda

f (x)  g ( x)(x  x₀ )  c
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda

Isboti:

(13)

g(x)  K x, с  K

bo‘lib,

c  r

Agar

f (x)  a  K
bo‘lsa, u holda

g(x)  0, c  0
deb olish mumkin bo‘ladi.

Ko‘rinib turibdiki, bu

f ( x)  0
uchun yagona imkoniyat. Endi

дар ^{. f}

(x)  n  0

bo‘lsin.

f (x)

ko‘phadni ^x ning darajalarini pasaytish

tartibida yozamiz:

f (x)  а xⁿ  a x^{n 1}  ...  a
0

1

x  a _.
n

n 1

Ravshanki

f (x)

ko‘phadni (13) ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u

holda

дар.g(x)  n  1

bo‘ladi.

g(x)

ni noaniq koeffitsiyentlar bilan yozamiz:

g (x)  b x^n1  b x^{n  2}  ...  b x  b

0 1 n 2 n1

f (x) _va

g(x)

ifodalarini (13) tenglikka qo‘ysak,

а xⁿ  a x^n1  ...  a x  a  b xⁿ  (b  x⁰b )x^{n 1}  (b

 x b )x^{n 2}  ...

0 1 n1 n 0 1 0

2 0 1

 (b_{n 1}  x₀b_{n  2} )x  (c  x₀b_{n 1})

hosil bo‘ladi.

Bundan ko‘phadlarning tengligi ta'rifiga ko‘ra:

b₀  a₀

b₁  a₁  x₀b₀ b₂  a₂  x₀b₁

^bn 1 ^{ a}n 1 ^{ x}0^bn 2

c  a_n  x₀b_{n 1}

(14) kelib chiqadi.

bu formulalar

b₀ ,b₁,b₂ ,...,b_{n 1}

va ^c larni ketma-ket aniqlash imkoniyatini

beradi. Yuqoridagi mulohazalardan ko‘rinadiki (13) tenglikni qanoatlantiruvchi

g(x)

ko‘phad va ^c element mavjud va u bir qiymatli aniqlanadi.

с  f (x₀ )

ekanini isbotlash uchun (13) tenglikdan foydalanib,

f (x)

ko‘phadning ^x0

nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz:

bundan

f (x₀ )  g (x₀ )(x₀  x₀ )  c

f ( x₀ )  c

kelib chiqadi.