50. Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivligi.
3 ta ko‘phad berilgan bo‘lsin.
f1 ( x) a0
a1 x a2
x 2 ... a x n
f (x) b b x b x 2 ... b x n
2 0 1 2 n
n
n
f3 ( x) с0
с1 x с2
x 2 ... с x n
( f1 (x) f2 ( x)) f3 (x)
ekanini isbotlaymiz.
f1( x) f3 ( x) g2 ( x) g3 ( x)
(8)
f1 ( x) f2 ( x)
ko‘phad (4) formula orqali berilgan ko‘phadlarni ko‘paytirish
amalining ta'rifiga ko‘ra
( f ( x) f ( x)) f
(x) d d x d
x2 ... d
x p e
bu yerda
1 2 3
0 1 2
p e
d k (a0 b 0 )ck (a1 b1 )ck 1 ... (ak b k )c0
K halqada distributivlikning o‘rinliligidan foydalanib dk ni ko‘rinishida ifodalashimiz mumkin bunda
k k
d I d II
yig‘indi
d I a c
a c
a c ... a c
k b 0 ck b1 ck 1 b 2 ck 2 ... b k c0
II
d
Bundan (8) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi xuddi shu mulohazalardan foydalanib 2- distributivlik
f3 ( x)( f1( x) f2 ( x))
ham isbotlandi.
f3 ( x) f1( x) f3 ( x) f2 ( x)
10-50 xossalardan ko‘ramizki, koeffitsiyentlari K halqadan olingan ko‘phadlar to‘plamining o‘zi ham ko‘phadlar ustida aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.
Bu halqa K halqa ustidagi ( x o‘zgaruvchili) ko‘phadlar halqasi deyilib,
K[ x]
kabi belgilanadi. Barcha halqalardagi kabi ko‘phadlar halqasida ham
qo‘shish amaliga teskari amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) va (3) ko‘rinishda berilgan ko‘phadlarning ayirmasi (5) formula yordamida topiladi. Bu tenglikning o‘rinli ekanligini ayrimani
f1 ( x) f1 ( x) f2 ( x) f1 ( x) ( f2 ( x))
ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi.
x ni o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada
n 0
bo‘lgan holda
K halqaning elementlari bo‘ladi. Ulardagi qo‘shish va ko‘paytirish amali,
ta'rifdan ko‘rinadiki K halqada bajariladi. Boshqacha aytganda, K halqa halqaning qism halqasi bo‘ladi.
2
n
K[ x]
Ifodadagi
a0 ,
a1 x,
a2 x ,
. . . ,
a x n
qo‘shiluvchilar ko‘phadning
hadlari deyiladi. Xususan,
a0
ozod had deyiladi. Odatda (yozuvni soda bo‘lishi
uchun)ko‘phadning yozuvida koeffitsiyenti nolga teng bo‘lgan hadlar tashlab yuboriladi.
Masalan:
6 0 x 3 x2 4 x3 0 x4
ko‘phad
6 3 x2 4 x3
kabi yoziladi.
axk
ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi.
Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni
a0 ,
a1 x,
a x 2 ,
..., a x m
birhadlarning yig‘indisi deb qarasak, ko‘phadning yozuvidagi «+» belgini qo‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi.
2
n
(a)xk
axk
birhadga qarama-qarshi birhad deyiladi. Shuning uchun
qandaydir ko‘phadga
(a)xk
birhadni qo‘shish deganda ko‘phaddan
axk
birhadni
ayirish tushuniladi. Bu «-» ni ko‘phadlarni ayirish sifatida qarab (a)xk
o‘rniga - axk
Masalan:
ni yozish imkonini beradi.
1 (3)x 2x2
ko‘phad o‘rniga
1 3x 2x2
ko‘phadni yozish mumkin.
Endi K halqa birlik elementga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra,
( p( x))2 p(x) p( x) 1x 2
( p( x))3 ( p(x))2 p(x) 1x3
p(x) 1x
va xokozolarga ega bo‘lamiz. Umuman,
( p( x))k
( p(x)) k1 p(x) 1x k
bo‘ladi .
K x halqada 1xk
ko‘phadni a elementga ko‘paytirsak,
a ( p( x)) k
ax k
hosil bo‘ladi. Odatda
( p(x))k
ifodani
p k (x)
kabi belgilash
ishlatiladi.
Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida
a0 , a1 , a2 ,..., an K x
a a p(x) a ( p(x))2 ... a ( p(x))n a a x a x 2 ... a x n
0 1 2 n 0 1 2 n
ga ega bo‘lamiz.
Bu tenglik qanday ma'noni anglatadi?
Uning chap tomoni ko‘phadning ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi,
o‘ng tomonida esa
a0 , a1 , a2 ,..., an
elementlar va
K x
halqaning
p( x)
elementlari o‘rtasida bu halqadagi qo‘shish va ko‘paytirish amali bajarildi.
Shuning uchun K halqada birlik element mavjud bo‘lsa biz
p( x)
deb
belgilagan ko‘phadni x harfi orqali ifodalab ko‘phadning formal ifodasiga mazmun berdik.
Ko‘phad haqidagi dastlabki ma'lumotlarning yakunida ko‘phadning darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni kiritamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |