Bitiruv malakaviy ishi

Ta'rif :

Noldan farqli bo‘lgan

f ( x)  a  a x  a x²  ...  a xⁿ

0 1 2 n

ko‘phadning darajasi deb,

a_k  0

bo‘lgandagi eng katta ^k soniga aytiladi.

Nol ko‘phadning darajasi - ^ deb hisoblanadi.

f (x)

ko‘phadning darajasi

дap.

f (x)

kabi belgilandi.

Nolinchi darajali ko‘phad- bu ^K halqaning noldan farqli elementidir.

Darajasi

^{n  0} bo‘lgan ^ ko‘phad

a  a x  a x²  ...  a xⁿ

0 1 2 n
n

ko‘rinishda yoziladi, bu yerda koeffitsiyenti deyiladi.

Ta'rif :

a_n  0 _va

a xⁿ

uning bosh hadi , ^an

esa bosh

Bosh koeffitsiyenti 1 ga teng bo‘lgan (agar ^K halqada birlik element mavjud bo‘lsa) ko‘phad normallashgan ko‘phad deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini ifodalovchi (4) va (6)

formulalardan ko‘rinadiki yig‘indi ko‘phad

maxn, m

dan ko‘paytma ko‘phad

esa

n  m

dan yuqori darajali hadga ega bo‘lmaydi.

Bundan
дар.( f₁(x)  f₂ (x))  maxдар. f₁( x),дар. f₂ ( x)

дар. f₁ (x)  f₂ (x)  дар. f₁( x)  дар. f₂ (x)

(9)

(10)

munosabatlar kelib chiqadi.

Hozirga qadar biz ^K halqaga hech qanday shart qo‘ymadik.

(Ko‘paytirishning kommutativligi yoki assotsiativligini talab qilmadik).

K x

halqada ko‘paytirish amali yuqoridagi u yoki bu hossani qanoatlantirishi uchun bu xossalarning ^K halqada o‘rinli bo‘lishini talab qilish lozim bo‘ladi. Shu nuqtai nazardan ^K halqada butunlik sohasi bo‘lishini, ya'ni birlik elementli nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan, kommutativ,assotsiativ halqa bo‘lgan holni ko‘rib chiqamiz.

Shunday qilib qaralayotgan ko‘phadlarning koeffitsiyentlari butunlik sohasidan olingan bo‘lsin.

^K butunlik sohasi bo‘lganda ko‘phadlarni ko‘paytirish amali uchun o‘rinli bo‘lgan bir nechta qo‘shimcha xossalar kelib chiqadi.

6⁰. Ko‘paytirishning kommutativligi, ko‘paytirishning ta'rifidan (6) va

(7) formulalardan bevosita kelib chiqadi. Avvalo bir hadlarni ko‘paytirishning

kommutativligini isbotlaymiz.

bx^m  axⁿ  abx^nm

axⁿ

_va bx^m

birhadlar uchun

bx^m  axⁿ  bax^nm

bo‘ladi.

^K halqada ko‘paytirish kommutativ bo‘lgani uchun

axⁿ  bx^m  bx^m  axⁿ

ab  ba

bo‘ladi, demak,

bo‘ladi.

Endi
f₁ (x) _va

^{f2 (x)} lar ^ ko‘phadlar bo‘lsin
f₁ (x)  f₂ (x)

ko‘phad

barcha tuzish mumkin bo‘lgan

u  v

ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning

yig‘indisiga teng, bunda hadi.

u  f₁ (x)

ko‘phadning hadi, ^v esa

f₂ (x)

ko‘phadning

Masalan:

(2  3x  x² )(3  5x)  2  3  2  5x  (3x)5x  x²  3  x²  5x

Bunga mos ravishda

f₂ ( x)  f₁ (x)

ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan

v  u

ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bunda ham ^u va ^v lar

yuqoridagi ma'noga ega. Masalan:

(3  5x)· (2 - 3x  x ^)  3·2  3· (-3x)  3· x^  5x·2  5x· (-3x)  5x·x ^

Yuqorida isbotlandiki, birhadlarning ko‘paytirish kommutativ u holda

f₁ (x)

ko‘phadning ^{ u} hadi va

f₂ (x)

ko‘phadning ^{ v} hadi uchun

u  v  v  u

tenglik o‘rinli. Bundan

f₁ (x)  f₂ (x)  f₂ ( x)  f₁ (x)

kelib chiqadi.