Bitiruv malakaviy ishi

7⁰. Ko‘paytirishning assotsiativligi.

( f₁ (x)  f ₂ (x))  f₃ (x)

ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan

(u  v) _w

ko‘rinishidagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bu yerda ^u - ^{f1 (x)}

ko‘phadning, ^v – ^{f2 (x)}

ko‘phadning, ^w - ^{f3 (x)}

ko‘phadning hadi. Xuddi

shuningdek,

f₁ (x)  ( f ₂ (x)  f₃ (x))

ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan

u  (v  w)

ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisidan iborat, bunda

u  v

va ^w lar

yuqoridagi ma'noga ega. Shuning uchun

u, v, w

birhadlar uchun

(u  v) _{w } u  (v  w)

ekanini isbotlash kifoya.

axⁿ ,bx^m ,cx ^p

birhadlar uchun

(axⁿ  bx^m )  cx ^p  abx^nm  cx ^p  abcx ^{nm p} ax ⁿ  (bx^m  cx ^p )  axⁿ  bcx ^{m p}  abcx ^{nm p} (ab)c  a(bc)

bo‘lgani uchun

bo‘ladi.

(axⁿ bx^m )  cx ^p  axⁿ

 (bx^m  cx ^p )

8⁰. Birlik elementning mavjudligi.

K x

halqaning birlik elementi

(ko‘paytirish amaliga nisbatan neytral elementi) ^K halqaning birlik elementi bo‘ladi. Haqiqatdan ham ko‘phadlarni ko‘paytirish amalining ta'rifiga ko‘ra,

f (x)

ko‘phad uchun

1 f (x) 
f (x)

bo‘ladi.

Xususiy holda,

1 x^k  x^k

shuning uchun ko‘phadning yozuvida, odatda

birga teng koeffitsiyentlar yozilmaydi.

9⁰. Ko‘phadning nolning bo‘luvchilariga ega emasligi.

2 ta noldan farqli ko‘phadlar berilgan bo‘lsin:

f (x)  a₀

 a₁ x  a₂

x ²  ...  a

n 1

_x n1 _{ a x}n

g(x)  b  b x  b x ²  ...  b
n


x ^m1  b x

0 1 2

m1 m m

Ularning ko‘paytmasi noldan farqli bo‘lishini ko‘ramiz. Ta'rifga ko‘ra

f (x)g (x)  a b

 (a b

 a b )x  ...  (a

b  a b

_)xn m1 <sub>a b

x</sub>nm

0 0 0 1 1 0

n1 m

n m1 n m

bo‘lgani uchun

f (x)g(x)

ko‘phaddagi

_xnm

oldidagi koeffitsient

a_nb_m

ga teng

bo‘ladi. ^K da nolning bo‘luvchilari bo‘lmagani uchun

a_nb_m

^{ 0} bo‘ladi va

demak

f (x)g(x) _{ 0}

bo‘ladi.

Yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqadiki

дар. f (x)g(x)  дар. f (x)  дар.g(x)

(11)

Bu formula (11) tenglikni ^K halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan holda aniqlangan.

6⁰-9⁰- xossalardan ko‘rinadiki, uchun quyidagi teorema keltirildi.