Bajardi: Ilmiy rahbar: reja asosiy qism

3. Bog’liqmas tajribalar ketma-ketligi. Muavr –Laplasning lokal va integral teoremalar
Agar bir nechta tajribalar o’tkazilayotgan , har bir tajribada biror A hodisaning ro’y berish ehtimolligi boshqa tajriba natijalariga bog’liq bo’lmasa , bunday tajribalar bog’liqsiz tajribalar deyiladi.
n ta bog’liqsiz tajribalar o’tkazilayotgan bo’lsin. Har bir tajribada A hodisaning ro’y berish ehtimolligi P(A)=p va ro’y bermasligi ehtimolligi
P(A)=1-p=q
bo’lsin.
Masalan, 1) Har birida A hodisa ro’y berishi (muvaffaqiyat) ham, ro’y bermasligi ( muvaffaqiyatsizlik) ham mumkin bo’lgan n ta bog’liqmas tajribalar amalga oshirilsin.2) nishonga qarata o’q uzish tajribasini ko’raylik. Bu yerda A=(o’q nishonga tegdi) – muvaffaqiyat va A=( o’q nishonga tegmadi)- muvaffaqiyatsizlik; 3) n ta mahsulotni sizfatsizlikka tekshirilayotganda A=( mahsulot sifatli)- muvaffaqiyat va Ᾱ=(mahsulot sifatsiz) – muvaffaqiyatsiz bo’ladi. A hodisaning har bir tajribadagi ehtimolligini bir xil, ya’ni r ga teng deb hisoblaymiz. Demak, A hodisa ro’y bermasligining ehtimolligi ham har bir tajribada doimiy va q=1-p ga teng. Tajribalarning bunday ketma – ketligi Bernulli sxemasi deb ataladi.
Bu kabi tajribalarda elementar hodisalar fazosi Ω faqat ikki elementlardan iborat bo’ladi: = , bu yerda - A hodisa ro’y bermasligini, -A hodisa ro’y berishini bildiradi. Bu hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p va q (p+q=1) lar orqali belgilanadi.
Agar n ta tajriba o’tkazilayotgan bo’lsa, u holda elementar hodisalar fazosining elementar hodisalari soni ga teng bo’ladi.
Bunday tajribalarga misol sifatida , masalan, texnologik va tashkiliy shart-sharoitlarning doimiyligi holatida ma’lum bir uskunalarda mahsulotlarni ishlab chiqarishni qarash mumkin, bu holda yaroqli mahsulotni tayyorlash-muvaffaqiyat, yaroqsizini tayyorlash-muvaffaqiyatsizlik. Agar biror mahsulotni tayyorlash jarayoni avvalgi mahsulotlarning yaroqli yoki yaroqsiz ejanligiga bog’liq emas deb hisoblab, bu vaziyat Bernulli sxemasiga mos keladi.
n ta tajribada A hodisa roppa-rosa k marta ro’y berishi va demak, n-k marta ro’y bermasligi, ya’ni k ta muvaffaqiyat va n-k ta muvaffaqiyatsizlik bo’lishining ehtimolligini hisoblash masalasi qo’yilgan bo’lsin. Qidirilayotgan ehtimollikni orqali belgilaymiz. Masalan, yozuvi beshta tajribada hodisa roppa-rosa 3 marta ro’y berishi va demak, 2 marta ro’y bermasligining ehtimolligini bildiradi.
p ta bog’liqmas tajribalar ketma-ketligini p ta bog’liqmas hodisalar ko’paytmasidan iborat bo’lgan murakkab hodisa deb qarash mumkin. Demak, p ta tajribada A hodisa k marta ro’y berishi va n-k marta ro’y bermasligining ehtimolligi bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklarini ko’paytirish haqidagi 2.2- teoremaga asosan ga teng. Bunday murakkab hodisalar p ta elementdan k tadan nechta gruppalash tuzish mumkin bo’lsa , shuncha , ya’ni ta bo’ladi.
Bu murakkab hodisalar birgalikda bo’lmagani uchun birgalikda bo’lmagan hodisalarning ehtimolliklarini qo’shish haqidagi teoremaga asosan izlanayotgan ehtimollik mumkin bo’lgan barcha murakkab hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng. Bu murakkab hodisalarning ehtimolliklari bir xil bo’lgani uchun izlanayotgan ehtimollik (p ta tajriba A hodisaning k marta ro’y berish ehtimolligi) bitta murakkab hodisaning ehtimolligini ularning soniga ko’paytirilganiga teng

yoki
(3.1)
Hosil qilingan formula Bernulli formulasi deb ataladi.
(3.1) ehtimolliklar xossalari:
1. .
2. Agar bo’lsa, .
3. n ta bog’liqsiz tajribada A hodisaning kamida 1 marta ro’y berishi ehtimolligi bo’ladi.
Chunki, P(0)+P(1)+…..P(n)=1 P= .
4. Agar ehtimollikning eng katta qiymati bo’lsa u holda quyidagicha aniqlanadi: , -eng katta ehtimolli son deyiladi va
a) agar np-q kasr son bo’lsa, u holda yagonadir;
b) agar np-q btun son bo’lsa, u holda ikkita bo’ladi.