Bajardi: Ilmiy rahbar: reja asosiy qism

2. Ehtimolliklarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari.
To’la ehtimollik va Bayes formulalari
A va B hodisalar birgalikda bo’lmasin hamda ularning ehtimolliklari berilgan bo’lsin. Yo A , yoki B hodisaning ro’y berishi, ya’ni bu hodisalarning yeg’indisi A+B ning ehtimolligini qanday topish mumkin? Bunga quyidagi teorema javob beradi.
2.1-teorema ( birgalikda bo’lmagan hodisalarning ehtimolliklarini qo’shish). Ikkita birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarning yig’indisiga teng.
P(A+B)=P(A)+P(B). (2.1)
Isbot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
n- elementar hodisalarning umumiy soni;
m1- A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni;
m2- B hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni.
Yoki A , yoki B hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi elementar hodisalar soni m1+m2 ga teng. Shuning uchun
P(A+B)= P(A)+P(B)
ni olamiz. Natijada bir nechta birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimolligi bu hodisalar ehtimolliklarining yig’indisiga teng:
P(A1+A2+….+An)=P(A1)+P(A2)+…..+P(An). (2.2)
6-Misol. Qutida 30 ta shar bor, ulardan 10 tasi qizil, 5 tasi ko’k va 15 tasi oq. rangli shar chiqishining ehtimolligi topilsin.
Yechish: rangli sharning chiqishi yoki qizil, yoki ko’k sharning chiqishini bildiradi. Qizil shar chiqishining ehtimolligi P(A)= ga teng. Ko’k shar chiqishining ehtimolligi esa P(B)= ga teng.
A va B hodisalar birgalikda bo’lmagan hodisalardir( biror rangdagi sharning chiqishi boshqa rangdagi sharning chiqishini istisno qiladi), shuning uchun qidirilayotgan ehtimollik
P(A+B)= P(A)+P(B)= bo’ladi.
Qarama – qarshi hodisalar birgalikda muqarrar hodisani tashkil etgani uchun
P(Ω)=P(A)+P(Ᾱ)=1
ekanligi kelib chiqadi, shu sababli
P(Ᾱ)=1-P(A). (2.3)
2.2-teorema ( bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklarini ko’paytirish).
Ikkita bog’liqmas hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi shu hodisalar ehtimoliklarining ko’paytmasiga teng:
P(AB)=P(A)*P(B). (2.4)
Natijada bir nechta bog’liqmas hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi shu hodisalar ehtimolliklarining ko’paytmasiga teng:
P(A1*A2*……An)=P(A1)*P(A2)*…..P(An).