B erdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

Differensial hisobning asosiy teoremalari.

Hosilaga ega bo’lgan funksiyalar haqida teoremalar. Bu teoremalar funk-
siyalarni tekshirishda muhim ahamiyatga ega.
1-teorema.(Ferma teoremasi) funksiya to’plamda berilgan.
nuqtaning atrofi uchun bo’lib, quyida- gilar bajarilsin:

1. 
   da
   
2. 
   mavjud va chekli bo’lsin.
   

U holda bo’ladi.
Isboti. Aytaylik, da bo’lsin. Bu holda
bo’ladi. Shartga ko’ra funksiya nuqtada chekli
hosilaga ega. Shuning uchun

bo’ladi. Ayni paytda, bo’lgan holda

bo’lgan holda esa

bo’lishidan eknligidan kelib chiqadi.
2-teorema. (Roll teoremasi) funksiya segmentda aniqlangan
va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiya intervalda chekli hosilaga
ega bo’lib, bo’lsa, u holda shunday nuqta topila-
diki,
bo’ladi.
Isboti. Shartga ko’ra Unda Veyershtrassning ikkinchi teoremasi-
ga ko’ra funksiya da o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga
erishadi, ya’ni shunday nuqtalar topiladiki,
,

bo’ladi.
Agar bo’lsa, unda da bo’lib,
da bo’ladi.
Agar bo’lsa, unda bo’lganligi sababli funk-
siya hamda qiymatlarning kamida bittasiga segmentning
nuqtasida erishadi. Ferma teoremasiga ko’ra bo’ladi.
3-teorema (Lagranj teoremasi) funksiya segmentda aniqlan-
gan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiya intervalda chekli hosila-
ga ega bo’lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada

bo’ladi.
Isboti. Ushbu

funksiyani qaraymiz. Bu funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoat-
lantiradi. Ayni paytda, uning hosilasi

bo’ladi.
Roll teoremasiga ko’ra shunday nuqta topiladiki,

va munosabatlatdan ya’ni bo’lishi kelib chiqadi.