Asosiy tushunchalar. Laplas tenglamasining fundamental yechimi

1.4 O’rta qiymat haqidagi teorema.

funksiya biror sharda garmonik bo’lib, sharning chegarasida uzluksiz bo’lsin. U holda, funksiyaning shar markazidagi qiymati, shu sharni chegaralab turuvchi sferadagi qiymatlarning o’rta arifmetigiga teng.
Teorema shartidagi sharning markazi nuqta va rdiusi ga teng bo’lsin.Bu sharni bilan va uni chegaralab turgan sferani orqali belgilab olamiz. bilan sharga konsentrik bo’lgan radiusli sharni, orqali uning chegarasini belgilaymiz. bo’lgani sababli (1.12) formulaga asosan

bu formulada deb olamiz. U holda bo’lib, - tashqi normal bo’lgani uchun radius bo’yicha yo’nalgan bo’ladi.Shu sababli

va oldingi formula

ko’rinishida yoziladi. funksiya sharda garmonik va sinfga tegishli bo’lgani uchun

Natijada
(1.15)
formulaga ega bo’lamiz. funksiya shrda uzluksiz bo’lgani uchun da integral ostida limitga o’tish mumkin.
Demak,
, (1.16)
(1.16) formulaning o’ng tomoni funksiyaning sferadagi qiymatlarining o’rta arifmetigidan iboratdir.
bo’lganda

(1.15) formulani

ko’rinishida yozib olamiz.Bu tenglikni bo’yicha oraliqda integrallab,
(1.17)
formulaga ega bo’lmiz, bunda sharning hajmidir. (1.16) va (1.17) formulalar mos ravishda sfera va shar bo’yicha garmonik funksiyalar uchun o’rta arifmetik formulalar nomi bilan ham yuritiladi.

1.5. Ekstremum prinspi

Chekli D soxada o’zgarmas sondan farqli bo’lgan u(x) garmonik funksiya D soxaning ichki nuqtalarida maksimum va minimumga erisha olmaydi.
Isbot. Faraz qilaylik, biror nuqtada u(x) funksiya maksimumga erishsin, ya’ni . D soxada yotuvchi sharni olamiz. Bu sharning xar bir nuqtasi u(x)=M bo’ladi. Xaqiqatdan xam, agar y, , nuqtada u(y) (u(y)>M tengsizlik bo’lishi mumkin emas) tengsizlik o’rinli bo’lsa u(x), funksiya uzluksiz bo’lgani uchun bu tengsizlik u nuqtaning biror atrofida xam o’rinli bo’ladi. U xolda (1.17) formulani shartga nisbatan qo’llash natijasida M bo’lgan manosiz tengsizlikka ega bo’lamiz.
Demak, barcha sharda u(x)=M. Endi x-D soxaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib, l esa ni bilan tutashtiruvchi va D da yotadigan uzluksiz egri chiziq bo’lsin. D soxaning chegarasi S bilan l egri chiziq orasidagi masofadan kichik bo’lgan sonni olamiz. sharning y markazini nuqtadan x nuqtaga qarab l chiziq bo’yicha siljitib boramiz. Yuqorida isbotlangan asosan y ixtiyoriy xolatda bo’lganda xam bu sharning ichida u=M va u(x)=M bo’ladi. Demak barcha Dda u(x)=M. Xosil bo’lgan qarama-qarshilik teoremaning birinchi qismi to’g’ri ekanligini ko’rsatadi. Xuddi shunga o’xshash ikkinchi qismi, ya’ni minimum xol isbotlanadi.