Asosiy tushunchalar. Laplas tenglamasining fundamental yechimi

1-natija. Agar u(x) funksiya D soxada garmonik bo’lib, da uzluksiz bo’lsa, u xolda u(x) funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarni soxani chegarasida qabul qiladi, ya’ni , bu yerda m va M lar u(x) funksiyaning D chegarasidagi eng kichik va eng kata qiymatlari.
Bu natijaning to’g’riligi yuqorida isbotlangan ekstremum prinspi va matematik analizdan ma’lum bo’lgan. Veyershtras teoremasidan kelib chiqadi.
2-natija. Agar u(x) funksiya chekli D soxada garmonik bo’lib, Dning chegarasi S da no’lga teng bo’lsa, barcha D da aynan no’lga teng bo’ladi.
Xaqiqatdan xam, m=M=0 dan ixtiyoriy uchun u(x)=0 bo’ladi.
3-natija. Agar va funksiyalar D soxada garmonik, da uzluksiz bo’lib, S da bir xil qiymatlarni qabul qilsa, barcha da ular aynan bir-biriga teng bo’ladi.
Xaqiqatdan xam, desak, bo’ladi. 2-natijaga asosan barcha D da yoki bo’ladi.
Izox. Ekstremum prinspining isbotida asosan garmonik funksiyaning uzluksizligidan va o’rta qiymat xaqidagi teoremadan foydalanildi. Shu sababli ekstremum prinspini boshqacharoq formada keltirish mumkin.
Agar o’zgarmas sondan farqli bo’lgan u(x) funksiya D soxada uzluksiz b’lib, bu soxaning xar bir nuqtasi uchun R ning barcha kichik qiymatlarida
yoki
Tenglik o’rinli bo’lsa, u(x) funksiya D soxaning ichki nuqtalarida maksimum va minimumga ega bo’lmaydi.

II BOB. Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masalalari. Grin funksiyasi

2.1.Dirixle va Neyman masalalarining qo’yilishi hamda ular yechimlarining yagonaligi.

fazoda chekli soha bo’lib, uning chegarasi bo’laklari silliq sirtdan iborat bo’lsin. ni orqali belgilab olamiz, ya’ni .