Asosiy tushunchalar. Laplas tenglamasining fundamental yechimi

2.3 Grin funksiyasining xossalari

Barcha sohada . Haqiqatan ham, funksiyaning maxsus nuqtasi ni markaz qilib yetarli kichik radiusli shar chizamiz, bu sharning chegarasini orqali, ni esa orqali belgilab olamiz. bo’lgani sababli yetarli kichik uchun sharda bo’ladi.
Demak, sohaning chegarasida .
Bundan, ekstremum prinsipiga asosan, nuqtalar uchun ham bo’ladi. Bundan darhol barcha da ekanligi kelib chiqadi.
nuqtalarda .
Bu tenglik (2.9) formuladan barcha da bo’lganda darhol kelib chiqadi.
Grin funksiyasi va nuqtalarga nisbatan simmetrik funksiyadir, ya’ni
.
Bu xossani isbotlash uchun nuqtalarni markaz qilib, yetarli kichik radiusli , sharlarni chizamiz. Bu sharlarning chegarasini va orqali belgilab olamiz. desak, sohada , funksiyalar garmonik bo’ladi.
Bu holda (1.7) ga asosan, ushbu

tenglik o’rinli bo’ladi. bo’lgani uchun
(2.10)
tenglik hosil bo’ladi. Bundagi birinchi integralni orqali belgilab olamiz, ya’ni
.
Bunda , bo’lgani sababli, da
, ,
tengsizliklar o’rinli bo’ladi.

ni e’tiborga olsak, da bo’lgani uchun
,
tengsizlikka ega bo’lamiz. Bunga asosan

(2.10) tenglikdagi ikkinchi integralni orqali belgilab olamiz, ya’ni
.
sohaga nisbatan tashqi normal bo’lgani uchun . Shu sabali da
.
Demak,

.
Ravshanki,
.
almashtirishni bajarsak, bo’lganda, - birlik sfera bo’ladi. Shu sababli
.
Bunga asosan,
.
Xuddi shunga o’xshash
.
Demak,

xossani isbotiga ega bo’ldik.

XULOSA.
Xulosa qilib aytadigan bo’lsak, ikkinchi tartibli bir jinsli tenglamaning umumiy ko’rinishi
(1)
tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi
formula bilan aniqlanar ekan. Bunda lar ko’rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.
(2)
differensial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.(2) ni ochib chiqsak:

bundan ko’rinadiki o’ziga qo’shma differensial tenglamada oldidagi koeffisiyent oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1 Har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma bo’lgan differensial tenglamaga keltirish mumkin.
(3)
differensial tenglama berilgan bo’lsin. kelibchiqadi.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erkli o’zgaruvchini almashtirish yordamida uni hamma vaqt

Ko’rinishga keltirish mumkin.