Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

Ta’rif. Agar nuqtaning har bir o’ng (chap) atrofida to’plamning
dan farqli kamida bitta nuqtasi bo’lsa, nuqta ning o’ng (chap) limit
nuqtasi deb ataladi.
Ta’rif. Agar har bir atrofida to’plamning kamida bitta nuqtasi
bo’lsa, “nuqta” to’plamning limit nuqtasi deyiladi.
Shuningdek, “nuqta” larning limit nuqta bo’lishi ham
yuqoridagi singari ta’riflanadi.
Masalan, ”nuqta” to’plamning limit nuqtasi bo’ladi.

1.2-§. Funksiya limitining ta’rifi.
to’plam berilgan bo’lib, nuqta uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu
to’plamda funksiya aniqlangan deylik. Modomiki, nuqta ning limit
nuqtasi ekan, to’plamning nuqtalaridan ga intiluvchi turli,
ketma–ketliklar tuzish mumkin: .
Ravshanki, . Shuning uchun bu nuqtalarda ham
funksiya aniqlangan. Natijada ketma–ketlik bilan birga :

sonlar ketma–ketligiga ham ega bo’lamiz.
Ta’rif. Agar to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, ga intiluvchi har
qanday ketma–ketlik olganimizda ham unga mos
ketma-ketlik hamma vaqt yagona (chekli yoki cheksiz) limitga intilsa, shu
ga funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi. Funksiya limiti
kabi belgilanadi.
Funksiya limitiga berilgan bu ta’rifni Geyne ta’rifi deb ataladi.
Ba’zan ni ning dagi limiti deyiladi va
da
kabi belgilanadi.
Yuqorida keltirilgan ushbu ta’rifga muvofiq ga intiluvchi har qanday
ketma–ketlik uchun da ketma–ketlikning
limiti olingan ketma–ketlikka bog’liq bo’lmaydi.
Misol_.'>Misol.1)Ushbu

funksiyaning dagi limiti ga teng ekani ko’rsatilsin.
◄ Nolga intiluvchi ixtiyoriy ketma–ketlik olaylik: .
U holda funksiya qiymatlaridan iborat ketma–ketlik

bo’ladi. Ravshanki, da
.
Demak, ta’rifga ko’ra
. ►
2)Quyidagi

funksiyaning dagi limiti mavjud emasligi ko’rsatilsin.
◄ Haqiqattan, nolga intiluvchi ikkita turli
ketma–ketlikni olaylik. Bunda

bo’lib,

bo’ladi. Bu esa funksiyaning dagi limiti mavjud emasligini
ko’rsatadi.►
Funksiya limitini boshqacha ham ta’riflash mumkin.
Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argument
ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning nuqtadagi limiti
deb ataladi.
Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argument
ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
bo’lsa, funksiyaning nuqtadagi limiti
deyiladi.
Funksiya limitiga berilgan bu ikki ta’riflar Koshi ta’rifi deb ataladi.
Misol. 1)Ushbu funksiyaning dagi limiti bo’lishi isbot qilinsin.
◄ son olaylik. Bu ga ko’ra ni deb olsak, u holda bo’lganda

tengsizlik bajariladi. Bundan, ta’rifga ko’ra

kelib chiqadi. ►
2)Ushbu funksiya uchun da bo’lishi ko’rsatilsin.
◄ son uchun deb olinsa, u holda tengsiz-likning bajarilishidan

tengsizlik kelib chiqadi. Demak, . ►