Аналитическая геометрия на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых.

Полученное каноническое уравнение прямой можно записать в другом виде, учитывая геометрический смысл координат направляющего вектора.
Введем понятие углового коэффициента , где α – угол между положительным направлением оси ОХ и данной прямой.

При любом расположении вектора относительно системы координат имеет место соотношение (предполагаем, что ).
Подставляя выражение в каноническое уравнение прямой, получим
или .
Перепишем последнее равенство в следующе виде:
/
Полученное уравнение носит название уравнения пучка прямых

Уравнение пучка прямых задает любую прямую на плоскости, кроме прямых, параллельных оси ординат. Поэтому его еще называют уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Преобразуем уравнение пучка прямых и обозначим число через b.
Имеем
.
Полученное уравнение носит название уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Определим геометрический смысл числа b.
т.е. b – величина направленного от резка, отсекаемого данной прямой от оси ординат.

Очевидно, что условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.
Заметим, что уравнение с угловым коэффициентом не охватывает случая, когда прямая параллельна оси ординат. В этом случае не существует, и уравнение прямой имеет вид , где - абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ.

6. 
   Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
   

Запишем теперь, уравнение прямой, проходящей через две данные точки и (конечно, эти точки считаются отличными друг от друга). За направляющий вектор такой прямой возьмем вектор
,
с учетом того, что прямая проходит через точку , из канонического уравнения получим уравнение искомой прямой в виде
.
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. Действительно, записанное выше уравнение можно переписать следующим образом:
,
откуда следует, что если , то , то . Дробь совпадает с угловым коэффициентом прямой.
Последние уравнение можно записать в эквивалентной форме, используя понятие определителя:
или