Прямая и плоскость в пространстве

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ


I. Векторное уравнение прямой линии в пространстве .
Прямая линия представляет собой линейное подпространство пространства размерностью 1. Базис этого подпространства образует единственный вектор, направленный вдоль прямой, например, вектор . Тогда любой другой вектор этого подпространства может быть единственным образом представлен разложением , где t- действительное число, принимающее значения от до + .
Зафиксируем на прямой точку , которая имеет радиус-вектор в базисе линейного пространства . Точка с радиус-вектором может быть произвольной точкой этой прямой (см. рис.1). Тогда вектор коллинеарен базисному вектору и связан с ним соотношением .


Но из треугольника следует,
что
, тогда
. (1)

Соотношение (1) связывает радиус-вектор произвольной точки прямой с радиус-вектором начальной точки прямой и направляющим вектором прямой . Уравнение (1) называют векторным параметрическим уравнением прямой, а величину t - числовым параметром. Если считать, что t - время, то уравнение (1) можно рассматривать как закон движения точки по прямой линии с постоянной скоростью .

II. Различные виды уравнений прямой на плоскости ( ).
Р
ассмотрим прямую линию на плоскости, которая является двумерным линейным пространством . На плоскости выбрана декартова прямоугольная система координат с базисом . Прямая задана векторным уравнением (1).
Выберем вектор , перпендикулярный заданной прямой, и умножим на него скалярно обе части уравнения (1):
.
Поскольку и ортогональны, то , тогда
. (2)
Уравнение (2) называют нормальным векторным уравнением  прямой на плоскости, а вектор - нормальным вектором прямой.
Перейдем к рассмотрению координатных форм записи уравнений (1) и (2). Разложим обе части уравнения (1) по базису .
Получаемые нами уравнения называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости:
(3)
где - координаты начальной точки,
- координаты направляющего вектора.