Прямая и плоскость в пространстве

Исключим параметр из уравнений (3) и получим так называемое каноническое уравнение прямой

(4)
Если хотя бы одно из чисел или равно 0, то в уравнениях (4) приравнивают к нулю и соответствующий числитель. Например, если (прямая параллельна оси Oy ), то ее уравнение , если (прямая параллельна оси Ox ),то ее уравнение .
Допустим, что , тогда из уравнений (3) получим
и
или после преобразований
, (5)
где - угловой коэффициент прямой,
- свободный член уравнения.
Уравнение (5) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом . Выясним геометрический смысл k и b. Направляющий вектор прямой предста- вим его разложением по базисным векторам .
О
тношение равно тангенсу угла наклона прямой к оси Ox.
Величина b определяет расстояние от начала координат до точки пересечения прямой с осью Oy .
Обозначим координаты нормального вектора прямой . Из условия ортогональности векторов можно принять . Уравнение (2) в координатной форме имеет вид

или
, (6)
где .
Уравнение (6) называют общим уравнением прямой на плоскости.
Если в (6) перенести C в правую часть и обе части уравнения поделить на -C, то получим уравнение прямой "в отрезках":
. (7)
где , - отрезки, отсекаемые прямой на осях координат. Уравнение прямой "в отрезках" не может быть записано в случаях, когда прямая параллельна осям координат ( A=0 или B=0 ) и когда она проходит через начало координат (C=0 ).


III. Различные виды уравнений прямой в пространстве .
Рассмотрим прямую линию, заданную уравнением (1), в трехмерном линейном пространстве . Здесь факт коллинеарности векторов и может быть записан через векторное произведение:
, (8)
где - радиус-вектор начальной точки прямой ,
- направляющий вектор прямой,
- радиус-вектор текущей точки.
Уравнение (8) является векторным уравнением прямой в .
Записывая (1) в координатной форме, получим параметрические уравнения прямой в пространстве
. (9)
Исключая параметр из уравнений (9), получим канонические уравнения прямой
. (10)
Если, например, , то уравнения (10) принимают вид
,
то есть остаются справедливыми замечания к каноническим уравнениям прямой на плоскости.


IV. Векторное уравнение плоскости в пространстве .
Плоскость представляет собой линейное подпространство пространства размерностью 2. Любой вектор на плоскости может быть единственным образом представлен разложением по двум неколлинеарным векторам и , о
М₀(х₀,у₀,z₀)
бразующим базис на плоскости: , где u и v - действительные числа, принимающие значения от до .


Пусть на плоскости задана точка с радиус-вектором и точка M с радиус-вектором . Вектор принадлежит плоскости, поэтому для него справедливо разложение
. (11)