Аналитическая геометрия на плоскости

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

Теорема. Если задана точка , то расстояние от нее до прямой определяется как
.
Доказательство. Пусть точка - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую.

Рассмотрим скалярное произведение векторов и :
.
Знак “+” соответствует счлучаю одинакового направления векторов, знак “-” – противоположному.
С другой стороны, то же скалярное произведение можно выразить через проекции векторов:

Приравнивая правые части получившихся уравнений, имеем
.
Раскроем скобки, прибавим и вычтем С :
.
Так как точка лежит на прямой , то , и уравнение приобретает следующий вид:
, откуда ?\
или окончательно, .
Теорема доказана.
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно в левую часть общего уравнеия прямой подставить вместо текущих координат координаты данной точки, взять это число по модулю и разделить на длину нормального вектора прямой.
Пример 1. Найти расстояние от точки до прямой .
Решение: Имеем ;
.
Пример 2. Найти расстояние между прямыми и .
Решение: Так как угловые коэффициенты обеих прямых равны, то данные прямые параллельны.
Для нахождения расстояния между ними возьмем произвольную точку на одной из них и найдем расстояние от этой точки до второй прямой.
Выберем точку на первой прямой, тогда
.
Вопросы для самопроверки

1. 
   Что называется уравнением линии на плоскости? Приведите примеры уравнений линий на плоскости.
   
2. 
   Что называется общим уравнением прямой на плоскости?
   
3. 
   Дайте определение нормального вектора прямой. В чем состоит геометрический смысл коэффициентов А и В общего уравнения прямой?
   
4. 
   Запишите в общем виде уравнения прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.
   
5. 
   Как расположена прямая по отношению к координатным осям, если один из коэффициентов в ее общем уравнении равен нулю? Приведите примеры.
   
6. 
   Запишите в общем виде каноническое уравнение прямой. Каков геометрический смысл входящих в это уравнение коэффициентов?
   
7. 
   Как записывается уравнение прямой, если одна из координат ее направляющего вектора равна нулю?
   
8. 
   Что называется угловым коэффициентом прямой, не параллельной оси ординат? Какие значения может принимать угловой коэффициент прямой на плоскости?
   
9. 
   Как выводится уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении?
   
10. 
    Выведите уравнение прямой проходящей через две точки.
    
11. 
    Сформулируйте и докажите условия параллельности (перпендикулярности) прямых, заданных общими уравнениями.
    
12. 
    Сформулируйте и докажите условия параллельности (перпендикулярности) прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
    
13. 
    Дайте определение угла между двумя пересекающимися прямыми.
    
14. 
    Выведите формулу для вычисления тангенса угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами.
    
15. 
    По какой формуле находится расстояние от данной точки до прямой, заданной общим уравнением?