“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

2.4. Gilbert yadroli singulyar integral tenglamalar

Quyidagi tenglamani ko’ramiz:
(2.28)
bunda — nomaʼlum, — berilgan funksiyalar bo’lib, Gyolder shartini qanoatlantiradilar. (2.28) tenglamani tekshirishdan avval 3 - banddagi (2.16) va (2.18) tenglamalarni markazi koordinata boshida va radiusi birga teng aylana bo’lgan xususiy holda qaraymiz.
, ,
bo’lsin. U holda
.
Bu ifodaning surat va maxrajini ga ko’paytiramiz va
,
Eyler formulalaridan foydalanamiz:

va larni va orqali belgilaymiz (butun son uchun, tabiiy , deb hisoblaymiz) va ni almashtiramiz. U holda (2.16) va (2.18) formulalar, mos ravishda qiyidagicha yoziladi.
, (2.29)
. (2.30)
Bu formulalardan Gilbertning teskarilash formulalarini, ya’ni (2.28) tenglamani yechish formulasini va unga teskari formulani osongina topish mumkin. (2.28) tenglama
(2.31)
shart bajarilgandagina yechimga ega bo’lishi mumkin. (2.28) ning yechimi bor bo’lsin. (2.31) ni hosil qilish uchun (2.28) ning har ikki tomonini bo’yicha 0 dan gacha integrallaymiz


Ushbu
(2.32)
ko’rinib turgan tenglikni e’tiborga olsak, (2.31) kelib chiqadi. (2.31) shart bajarildi deb faraz qilib, (2.28) tenglamaning qo’shimcha
(2.33)
shartni qanoatlantiruvchi yechimini izlaymiz. Ammo, bu shart bajarilganda (2.28) tenglama (2.29) tenglama bilan ustma-ust tushadi, (2.29) tenglamaning yechimi esa (2.30) formula bilan aniqlanadi, ya’ni (2.30) shart bajarilganda
(2.34)
(2.28) va (2.34) formulalar (2.31) va (2.33) shartlar bilan birgalikda Gilbertning teskarilash formulalarini ifodalaydi.
Biz (2.28) tenglamaning qo’shimcha (2.33) shartni qanoatlantiruvchi yechimini topdik. Hamma boshqa yechimlar topilgan yechimga ixtiyoriy o’zgarmas sonni qo’shish natijasida hosil bo’lishini ko’rsatamiz. Avvalo, ravshanki (2.32) cha asosan yechim bo’ladi. Endi tenglamaning biror yechimi bo’lib,
(2.35)
bo’lsin. Bu funksiyaning (2.28) tenglamani qanoatlantirishi ravshan. (2.35) tenglikdagi integralni orqali belgilab, (2.35) ning ikki tomonini 0 dan gacha integrallasak, ning qo’shimcha (2.33) shartni qanoatlantirishi ham kelib chiqadi, lekin bunday yechim yagona bo’lgani uchun u topilgan (2.34) yechim bilan ustma-ust tushadi. Bundan darhol ekanligi kelib chiqadi.
(2.28) va (2.34) formulalardan darhol Gilbert yadroli singulyar integrallar kompozitsiyasining ushbu

formulasi kelib chiqadi.
Yuqorida aytilganlarga asosan quyidagi teskarilash formulalari kelib chiqadi:
, (2.36)
. (2.37)
Bu formulalarni bunday tushunish kerak: agar va — Gyolder shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar bo’lsa, holda (2.36), (2.37) formulalarning biridan ikkinchisi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, (2.36) formula o’rinli bo’lsin, uning o’ng tomonini orqali belgilab olamiz, yaʼni
, (2.38)
(2.39)
(2.38) tenglamaning o’ng tomoni (2.31) shartni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Buning uchun (2.39) tenglikning har ikki tomonini ga ko’paytirib, 0 dan gacha integrallaymiz:

.
Bundan, (2.32) ga asosan, avvalgi aytganlarni e’tiborga olsak,
(2.40)
tenglikka ega bo’lamiz, bunda — biror o’zgarmas. (2.40 ) ning har ikki tomonini ga ko’paytirib, 0 dan gacha integrallab

ni hosil qilamiz. ning bu qiymatini (2.40) formulaga Qo’ysak, (2.37) formula kelib chiqadi. Xuddi shunga o’xshash, (2.37) dan (2.36) ni hosil qilamiz.
(2.36) va (2.37) formulalardan boshqacharoq
, (2.41)
(2.42)
formulalar ham o’rinli bo’ladi.
Bu formulalarni isbotlash katta qiyinchilik tug’dirmaydi. Faraz qilaylik, (2.41) to’g’ri bo’lsin. Buning har ikki tomonini ga ko’paytirib, 0 dan gacha integrallaymiz. (2.32) ga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Bunga asosan (2.41) formula (2.36) ga keladi. Keyingi mulohazalar avvalgilarni qaytarishdan iborat bo’ladi. (2.41) dan ning qiymatini (2.42) ga qo’yib, (2.32) ni e’tiborga olsak, (2.33) shart bajarilmagan holdagi quyidagi Gilbert formulasi kelib chiqadi:
(2.43)
Gilbert yadroli singulyar integral tenglama
(2.44)
ko’rinishga ega bo’ladi, bunda , , , — haqiqiy funksiyalar bo’lib, Gyolder shartini qanoatlantiradi, shu bilan birga yadro uchun nuqtada
,
tengsizlik o’rinli bo’lishi mumkin.
Yadro bo’lganda, (2.44) ga mos bo’lgan
(2.45)
xarakteristik tenglamaga ega bo’lamiz.
Agar , funksiyalar o’zgarmas bo’lsa, (2.45) tenglamani quyidagi usul bilan yechish mumkin.
Ushbu

belgilashni kiritib, bunda — ixtiyoriy funksiya, tenglamaning har ikki tomoniga bu operatorni qo’llaymiz:
,
yoki

(2.43) formuladan foydalansak, bu tenglama
(2.46)
ko’rinishda yoziladi.
Agar bo’lsa, bu tenglama aynigan yadroli sodda Fredgolm tenglamasidan iboratdir.
Agar bo’lsa, (2.46) tenglama (2.45) ga ekvivalent ekanligini ko’rsatamiz. Shu maqsadda (2.46) tenglamani
yoki
ko’rinishda yozib olamiz. belgilashni kiritsak, yoki to’liqroq yozsak,

tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning har ikki tomoniga

operatorni qo’llaymiz. U holda funksiya qanoatlantirishi zarur bo’lgan

tenglamani hosil qilamiz. Bundan darhol (2.43) formulani qo’llab,

tenglamaga kelamiz. Oxirgi tenglamadan ekanligi kelib chiqadi. Avvalgi tenglamaga ni qo’yib, yoki ni hosil qilamiz.
Demak, yoki , yaʼni (2.46) tenglamadan tenglama kelib chiqdi. Ikkinchi tomondan, yuqorida ko’rdikki, (2.45) tenglamadan (2.46) tenglama kelib chiqqan edi.
Shunday qilib, bu tenglamalarning ekvivalentligi isbot bo’ldi.
(2.46) tenglamaning yechimini toppish uchun

deb belgilasak, (2.46) tenglamadan
(2.47)
ni hosil qilamiz. ning bu qiymatini (2.46) tenglamaga qo’yib ni topamiz:

Bu ni (2.47) ga qo’yib, ning ifodasini e’tiborga olsak, (2.45) tenglamaning izlanayotgan yechimini topamiz:
(2.48)
Agar bo’lsa, isbot qilish mumkinki, (2.45) tenglama umumiy holda yechimga ega bo’lmaydi.
Agar bo’lsa, (2.48) formula yaramaydi, bu holni biz deb hisoblab, yuqorida ko’rgan edik.
, funksiyalar o’zgarmas bo’lgan holda (2.44) tenglamaning har ikki tomoniga operatorni qo’llab, uni ekvivalent bo’lgan Fredgolm tenglamasiga keltirish mumkin .
Umumiy holda (2.44) tenglamaning har ikki tomoniga ushbu

operatorni qo’llab, Fredgolm tipidagi tenglamani hosil qilamiz. Lekin bu tenglama (2.44) tenglamaga ekvivalent bo’lmasligi mumkin. Yana shuni aytib o’tamizki, umumiy ko’rinishdagi (2.44) tenglamaning hamma xossalarini tekshirishga hojat yo’q, chunki bu tenglamani Koshi yadroli tenglamaga keltirish mumkin.

XULOSA

Matematik fizikaning bir qator masalalarini yechishda integral tenglamalarga keltiriladi. Integral tenglamalarni yechish usullarini chuqur o’rganish dastlabki matematik fizikaning masalasini yechishga imkon beradi. Shu tufayli ushbu masala kurs ishida o‘rganilgan.
Ushbu kurs ishida integral tenglamalar, ularning turlari, Fredgolm integral tenglamalar haqida umumiy ma’lumotlar keltirilgan. Integral tenglamalarni yechish usullari o‘rganilgan. Singulyar integral tenglamalar nisbatan kam o'rganilgan soha hisoblanadi. Kurs ishida singulyar integral tenglamlarning turlari va yechish usullari o‘rganilgan.
Kurs ishi referativ xarakterga ega bo‘lib, ham amaliy ham nazariy ahamiyatga ega. Ushbu kurs ishidan barcha oliy o’quv yurtlari «Matematika» va «Fizika» ta’lim yo’nalishlari talabalari muhim qo’llanma sifatida foydalanishlari mumkin.