“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

1.2. Fredgolm teoremalari

1-teorema. Agar (1.1) ko’rinishdagi uzluksiz yadroli tenglama bo’lganda yechimga ega bo’lsa, u holda (1.7) tenglama ham bo’lganda yechimga ega.
2-teorema. Agar (1.1) tenglama ixtiyoriy funksiya uchun yechimga ega bo’lmasa, u holda (1.1), (1.7) tenglamaga mos bir jinsli tenglamalar bir xil sondagi chiziqli erkli yechimlarga ega.
3-teorema. Agar (1.1) tenglama ixtiyoriy funksiya uchun yechimga ega bo’lmasa, u holda (1.1) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun, uning o’ng tomoni (1.7) ga mos bir jinsli tenglamaning yechimlariga ortogonal bo’lishi zarur va yetarli.

1.3. Fredgolm integral tenglamasini ketma-ket yaqinlashish usulida yechish

Bizga
(1.8)
tenglama berilgan bo’lib, yadro to’rtburchak sohada aniqlangan bo’lsin va , .
(1.8) tenglamani ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz. Buning uchun ushbu qatorni qaraymiz
(1.9)
Bunda
(1.10)
ko’rinishdagi operator bo’lib, bo’lsa, u holda deb faraz qilamiz.
(1.9) qator elementlarini ko’ramiz

tenglik o’rinli.
Agar

deb belgilasak va almashtirsak, u holda

ko’rinishiga keladi.
Xuddi shunday tarzda

ko’rinishlarga ega bo’lamiz.
– funksiyaga qaytarilgan yadro yoki –iteratsiya deyiladi.
Yuqoridagilardan foydalanib (1.9) qatorni quyidagicha yozib olamiz
(1.12)
(1.12) qator (*) tengsizlik o’rinli bo’lganda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, ya’ni
. (*)
Xuddi shunday

bo’lib, (*) dan ekanligini nazarda tutib funksional qator sonli qator bilan majoratlanadi, ya’ni funksional qatorni har bir hadi sonli qatorni mos hadidan katta emas, hosil qilingan ko’rinishdagi qator bo’lib, yaqinlashuvchi ekanligidan funksional qatorni yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Endi
(1.13)
ko’rinishda belgilash kiritib, uni ikki tomonidan integral olamiz
(1.14)
So’nggi (1.14) qatorni (1.12) qator bilan solishtirib,
(1.15)
ko’rinishidagi tenglikni olamiz. Bu (1.8) tenglamaning yechimini ifodalaydi.
Bunda funksiyaga rezolventa deyiladi va u ushbu ko’rinishda ifodalanadi

Yuqoridagi amalga oshirilgan ishlarni jamlab quyidagi teoremaga kelamiz.
Teorema. (1.14) ko’rinishdagi uzluksiz yadroli ixtiyoriy Fredgolm tenglamasi, bo’lganda va funksiya uchun yagona yechimga ega va yechimi (1.15) ko’rinishida rezolventa orqali ifodalanadi.
Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan integral tenglamani yeching.

Yechish. . Nolinchi yaqinlashish , birinchi yaqinlashish

bo’ladi va keyingi hadlarni ham shu tarbida topish mumkin.