“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

2.2. Singulyar integrallar kompozitsiyasining formulasi
— yopiq silliq egri chiziq bo’lib,
,
(2.9)

bo’lsin, funksiyaning bevosita orqali qanday ifodalanishini topamiz. Shu maqsadda Koshi tipidagi
,

integrallarni tekshiramiz. (2.7) formulaga asosan
,
.
Bulardan va funksiyalarning aniqlanishiga ko’ra
, (2.10)
tengliklarni hosil qilamiz. (2.10) dan ning qiymatini ga olib borib qo’yamiz:
. (2.11)
(2.11) dagi birinchi integral Koshi integralidir, chunki uning zichligi egri chiziq ichida analitik funksiyaning limit qiymati. Demak, bu integral ga teng. (2.11) dagi ikkinchi integral esa ga teng. Shunday qilib,
va .
(2.10) tenglikdan
.
funksiyaning ifodasini

ko’rinishda yozib olsak, singulyar integrallarning kompozitsiyasi bo’lgan ushbu
(2.12)
Puankare - Bertran formulasini hosil qilamiz. (2.12) formulada ikki karrali singulyar integralda integrallash tartibini o’zgartirish mumkin emas; agarda integrallash tartibini o’zgartirsak,

integral hosil bo’ladi, bu integral esa nolga teng. Haqiqatan ham bo’lsa,
.
(2.6) formulada bo’lsin. Agar nuqta egri chiziqning ichida yotsa, bo’ladi. Bu holda, (2.7) formuladan
.
Xuddi shunday

Demak,
, .
Agar funksiya da Gyolder shartini qanoatlantirsa, (2.12) ga nisbatan umumiyroq,
(2.13)
Puankare - Bertran formulasi to’g’ri bo’ladi. Agar funksiya ga bog’liq bo’lmasa, (2.13) dan darhol (2.12) formula kelib chiqadi.