“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

2.3. Koshi yadroli singulyar integral tenglamalar

Integral tenglamaning yadrosi bo’lganda cheksizlikka aylanib, integral Koshi bo’yicha bosh qiymat ma’nosida mavjud bo’lsa, bunday integral tenglama singulyar integral tenglama deb yuritiladi. Koshi yadroli integral tenglama
(2.14)
ko’rinishda yoziladi, bundagi — ochiq yoki yopiq silliq egri chiziq.
da berilgan , , funksiyalarni Gyolder shartini qanoatlantiradi deb hisoblaymiz. (2.14) tenglamaning yadrosini

ko’rinishida yozib olamiz. Ushbu
,
belgilashlarni kiritsak, (2.14) tenglama
(2.15)
ko’rinishda yoziladi.
(2.16)
tenglama (2.15) tenglamaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi.
Quyidagi
, (2.17)
funksiyalarni da nolga aylanmaydi deb hisoblaymiz. Bu holda (2.14) yoki (2.15) tenglama normal tipdagi tenglama deb aytiladi.
Singulyar integral tenglamalar uchun Fredgolmning teoremalari, umuman aytganda, o’rinli bo’lmaydi. Normal tipdagi (2.15) ko’rinishdagi integral tenglamalarning nazariyasi N. I. Musxelishvilining kitobida bayon qilingan. Biz bu yerda ayrim xususiy hollarni ko’ramiz. Avvalo (2.16) tenglamada , holni, ya’ni birinchi turdagi
(2.18)
tenglamani tekshiramiz. — silliq yopiq kontur bo’lsin.
(2.12) Puankare — Bertran formulasiga asosan
(2.19)
Bundan darhol
(2.20)
funksiya (2.18) tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi. Bu tenglamaning yechimi yagona ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Haqiqatan ham, (2.18) tenglamaning har ikki tomonini ga ko’paytirib, bo’yicha integrallaymiz.
(2.19) formulani e’tiborga olsak, (2.20) ni hosil qilamiz. Qisqa qilib aytganda, (2.18) va (2.20) formulalar (2.19) ga asosan, biri ikkinchisining natijasidir. Endi (2.16) tenglamadagi va koeffisiyentlar o’zgarmas bo’lsin. — bu holda ham silliq yopiq kontur
. (2.21)
Bu tenglamaning har ikki tomoniga

operatorni qo’llaymiz:

.
Bundan darhol, (2.17) ifodalar noldan farqli bo’lganligi sababli, (2.19) formulaga asosan
(2.22)
ni hosil qilamiz. (2.22) formula bilan aniqlangan funksiyaning (2.21) tenglamani qanoatlantirishiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
Umumiy (2.15) tenglamani tekshirilganda

operatorni qo’llash natijasida, (2.15) tenglama Fredgolm tenglamasiga keladi. Agar , — o’zgarmas bo’lsa, hosil bo’lgan Fredgolm tenglamasi (2.15) tenglamaga ekvivalent bo’ladi. Umumiy holda, qo’shimcha tekshirishlarni olib borishga to’g’ri keladi.
Agar — yopiq kontur bo’lmasa, Puankare — Bertran formulasi o’rinli bo’lmaydi va natijada yuqorida bayon qilingan singulyar integral tenglamalarning yechish usulini tatbiq qilish mumkin bo’lmay qoladi. Bu yerda biz singulyar integral tenglamani Riman nomi bilan ataluvchi masalaga olib kelib yechish usuli to’g’risida tushuncha berib o’tamiz. Bu usul ochiq konturlar uchungina emas, balki yopiq konturlar uchun qam qo’llaniladi.
— bo’laklari silliq ochiq egri chiziq bo’lsin, (2.16) tenglamani tekshiramiz. Zichligi bo’lgan Koshi tipidagi

integralni qaraymiz. Soxotskiy — Plemeli formulasiga asosan
,
tengliklarga ega bo’lamiz. Bularni (2.16) tenglamaga qo’ysak,

yoki
(2.23)
tenglik hosil bo’ladi, bunda
,
Shunday qilib, biz quyidagi Riman masalaga keldik.
Limit qiymatlari egri chiziqda (2.23) shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin.
Bu masala ulash masalasi yoki Gilbert masalasi ham deb yuritiladi.
Agar va funksiyalar o’zgarmas bo’lib, oddiy silliq yoydan iborat bo’lsa, Riman masalasini yechish unchalik qiyin emas. funksiya
(2.24)
ko’rinishga ega bo’lsin deb hisoblaymiz va ni shunday tanlaymizki, u
(2.25)
shartni qanoatlantirsin, yaʼni bir jinsli Riman masalasining yechimidan iborat bo’lsin. yoyning boshlang’ich va oxirgi nuqtalarini va orqali belgilab,
(2.26)
funksiyani tekshiramiz, bunda — biror o’zgarmas son. nuqtaning atrofini soat miliga qarshi aylanib o’tganda funksiya ko’paytuvchiga ega bo’ladi. Shunday qilib,

sonni

shartdan aniqlaymiz. Bu holda (2.26) funksiya (2.25) tenglamani qanoatlantiradi. Endi ning qiymatini (2.24) ga, so’ngra uni (2.23) ga qo’ysak,

tenglik hosil bo’ladi. Bu esa Rimanning sodda masalasi bo’lib, osongina yechiladi.
Soxotskiy — Plemeli formulalaridan ko’rinib turibdiki, uchun ushbu

Koshi tipidagi integralni qabul qilish mumkin. Bu holda

Demak, va lar o’zgarmas, oddiy yoy bo’lgan holda (2.16) tenglamaning yechimi

Soxotskiy — Plemeli formulasiga asosan darhol aniqlanadi:
. (2.27)
(2.27) yechim, umuman aytganda, yagona emas. Bunga ishonch hosil qilish uchun yana qo’shimcha tadqiqotlarni olib borish zarur bo’ladi. Tekshirilayotgan holda bir jinsli (2.16) tenglamaning yechimi

dan iborat bo’ladi. (2.16) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi formula bilan aniqlanadi:


bunda — ixtiyoriy o’zgarmas son. Bu o’zgarmas sonni tanlash natijasida yechim yoyning u yoki bu chetida, yoki ikkala chetida ham chegaralanganligini taʼminlash mumkin. Agar yopiq kontur bo’lsa, yaʼni , bu holda tabiiy va (2.27) dan darhol (2.22) formula kelib chiqadi.