“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

2.3. Giperbolik tenglama uchun Koshi masalasini yechish

Ma’lumki, Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi: sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi shunday funksiyani topish kerakki, bu sohada u
(2.25)
differensial tenglamani qanoatlantirib, to’g’ri chiziqda
(2.26)
dastlabki shartlarni qanoatlantirsin, bunda va berilgan funksiyalar.
Differensial tenglamani ayirmali tenglama bilan almashtirish uchun to’rni kiritamiz, bunda


keyin 8-chizmadagidek besh nuqtali andazadan foydalanamiz. Bu andaza asosida qurilgan sxema uch qatlamli sxema deyiladi. Bu andazadan quyidagi ayirmali sxema kelib chiqadi:
(2.27)

8-chizma.

Biz bilamizki, bu sxema (2.25) differensial tenglamani aniqlikda approksimatsiya qiladi. Chegaraviy shartning ikkinchisini
(2.28)
bilan almashtirsak, u holda approksimatsiya tartibi bo’ladi. Ammo chegaraviy shartni ham aniqlikda approksimatsiya qilish mumkin. Haqiqatan ham,

yoyilmadan hamda (2.25) differensial tenglamadan hosil bo’ladigan

munosabatdan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:

bundan esa
(2.29)
ga ega bo’lamiz. Agar ning analitik ifodasi berilgan bo’lmasa , u holda ni aniqlikda

bilan almashtirish mumkin, natijada
(2.30)
ga ega bo’lamiz.
Shunday qilib, dastlabki shart, (2.27) va (2.30) dan quyidagilarni hosil qilamiz:
(2.31)
(2.32)
Bunda ko’ramizki, va qiymatlar (2.31) dan ma’lum. (2.32) dan barcha uchun ketma-ket avval , keyin va boshqalarni topib olamiz.
Parabolik tenglamada sxemaning turg’unligi uchun qadamalar orasida shartning bajarilishi kerakligini ko’rgan edik. Endi giperbolik tenglama uchun qanday shartni bajarish kerakligini tekshiramiz.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy va uchun tugunda ning qiymatini (2.32) formula bilan topish kerak bo’lsin. Buning uchun (2.32) da deb olib, ko’ramizki, ning qiymati , , va lar orqali ifodalanadi. Agar bo’lsa, o’z navbatida, , , , larning qiymatlari past qatlamlardagi , , , , , , , , lar orqali ifodalanadi. Bu jarayonni davom ettirib, oxirgi natijada ni va orqali ifodalaymiz. Bu qiymatlarning barchasi teng yonli uchburchak ichida yotadi (9-chizma). Bu uchburchakning uchi nuqtada bo’lib, bir tomoni o’qida, qolgan ikki tomoni va dan iborat. Ular o’qi bilan burchakni tashkil etadi. uchburchak (2.32) ayirmali sxemaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi.

9-chizma.
Shunday qilib, ning qiymati nuqtada (2.32) tenglamaning hamda kesmalarda yotuvchi va dastlabki qiymatlari orqali aniqlanadi. Matematik fizikadan ma’lumki, yechimning nuqtadagi qiymati (2.25) tenglama hamda nuqtadan o’tuvchi
, (2.33)
xarakteristikalar to’g’ri chiziqda ajratadigan kesmadagi shartlar bilan, ya’ni kesmadagi boshlang’ich shartlar bilan bir qiymatli ravishda aniqlanadi. (2.25) tenglamaning (2.33) xarakteristikalari o’zaro perpendikulyar bo’lib, o’qi bilan va burchaklarni tashkil etadi; uchburchak (2.25) differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi.
Faraz qilaylik, to’rning qadami dan katta bo’lsin (9-chizma). Bu holda va bo’lib, ayirmali tenglamaning aniqlik burchagi ichida yotadi. Shuning uchun ham kesmada beriladigan dastlabki shartlar nuqtada yechimni aniqlash uchun yetarli emas. Agar biz va kesmalarda boshlang’ich shartlarni o’zgartirsak, (2.25), (2.26) masalaning yechimi butun sohada jumladan, nuqtada o’zgarishi kerak. Ammo ning to’rdagi qiymati nuqtada bunday o’zgarishlarga bog’liq bo’lmasdan, o’zgarmay qoladi. Demak, bo’lganda (2.31), (2.38) ayirmali masalaning yechimi da (2.25), (2.26) Koshi masalasining yechimiga yaqinlashmaydi, (2.31), (2.38) ayirmali masala (2.25), (2.26) differensial masalani approksimatsiya qilganligi sababli u turg’un bo’la olmaydi, chunki approksimatsiya va turg’unlikdan yaqinlashish kelib chiqishi kerak. Bundan biz shunday xulosaga kelamiz: bo’lganda to’r metodi bilan topilgan taqribiy yechimlar ketma-ketligi da yaqinlashishi uchun shartning bajarilishi zarurdir, ya’ni differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi bilan ustma-ust tushishi yoki uning ichida yotishi mumkin. Umumiy holda differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi egri chiziqli uchburchak bo’ladi, ammo bu holda ham differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi ayirmali sxemaning aniqlanganlik uchburchagi ichida yotishi lozim. Bu shartning bajarilishi uchun to’r qadamlari ma’lum munosabatda olinishi, yani to’rning maxsus tanlanishi talab etiladi. Differensial tenglamaning koeffisientlaridan va boshlang’ich shartlaridan ma’lum silliqlik talab qilinganda taqribiy yechimlar ketma-ketligining Koshi masalasi yechimiga yaqinlashishi uchun yuqoridagi shart yetarli bo’ladi.