“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

2.4. Giperbolik tenglama uchun birinchi chegaraviy masalani yechish

Biz endi tebranish tenglamasi uchun sohada ushbu birinchi chegaraviy masalani ko’rib chiqamiz. Yani sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyani topish kerakki , bu sohada u
(2.34)
tenglamani qanoatlantirib, to’g’ri chiziqda
(2.35)
dastlabki shartlarni va
(2.36)
chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bu maslani to’r metodi bilan yechish uchun ushbu

to’rni kiritamiz va 8-chizmadagidek uch qatlamli andaza bo’yicha (2.25) differensial tenglamani (2.27) dagi ayirmali sxema bilan almashtiramiz, bu yerda va quyidagi qiymatlarni qabul qiladi:

Dastlabki shartlar uchun (2.21) formuladan foydalanamiz. Chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:

Bularning hammasini birlashtirib, ayirmali sxemaning quyidagi hisoblash algoritmiga ega bo’lamiz:
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Yuqorida ko’rdikki, bu sxema (2.25), (2.27) chegaraviy masalani aniqlikda approksimatsiya qiladi. Ko’rsatish mumkinki, agar ixtiyoriy uchun va qadamlar quyidagi
(2.40)
Shartni qanoatlantirsa , (2.31),(2.34), (2.35) sxema turg’un bo’ladi. Biz buning isbotiga to’xtalib o’tirmaymiz.
Misol. To’r metodi bilan sohada

to’r tenglamasining

chegaraviy va dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan taqribiy yechimi topilsin.
Yechish. Bu yerda va deb olamiz. Keyin hamda ligini hisobga olib, formulani quyidagicha yozamiz:

Endi operatorning ko’rinishini e’tiborga olsak, hisoblash uchun quyidagi algoritm hosil bo’ladi:

Hisoblashni faqat uchun bajarsa yetarli bo’ladi, chunki yechimning grafigi tekislikka nisbatan simmetrik ravishda joylashgan.