|
Faraz qilaylik sohada ushbu
(2.8)
parabolik tenglamaning (issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining)
(2.9)
dastlabki shart va
, (2.10)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda , , - berilgan funksiyalar. Maʼlumki, (2.8) - (2.10) masalaning yechimi mavjud va yagona. Keyingi mulohazalarda barcha kerakli hosilalarga ega deb faraz qilamiz.
Ayirmali sxema qurish uchun sohani va koordinatalar bo’yicha mos ravishda va bo’lgan to’g’ri burchakli to’rtburchak to’r bilan qoplaymiz (5-chizma). Keyin to’r sohaning tugunlarida aniqlangan funksiyani qidiramiz, funksiya funksiyaning to’rdagi qiymati bo’ladi. Oldingilardek to’rda aniqlangan funksiya uchun belgilash kiritamiz.
Endi (2.8) tenglamani approksimatsiya qilish uchun — va hosilalarni nuqtada
, (2.11)
, (2.12)
(2.13)
taqribiy formulalar bilan almashtiramiz. Ayirmali masalani hosil qilish uchun (2.11) bilan (2.13) ni (2.8) tenglamadagi hosilalarning o’rniga qo’yamiz hamda (2.9) va (2.10) dastlabki va chegaraviy shartlarni approksimatsiya qilamiz. Natijada quyidagi ayirmali masala hosil bo’ladi:
(2.14)
(2.15)
Agar (2.13) da ni ga almashtirib, natijasini hamda (2.11) ni (2.8) tenglamaga qo’ysak, quyidagi ayirmali masalaga ega bo’lamiz:
(2.16)
(2.17)
Bu yerda sifatida quyidagi ifodalarning birortasini olish mumkin:
Shunday qilib, (2.8)—(2.11) parabolik tenglamaning approksimatsiyasi sifatida biz (2.14), (2.15) va (2.16), (2.17) ayirmali tenglamalarga ega bo’ldik.
Biror differensial masalaning tugunda ayirmali masala bilan almashtirishda ishtirok etadigan to’plami andaza deyiladi. Yuqoridagi (2.15) va (2.16) ayirmali sxemalar 6-chizmada ko’rsatilgan andazalarga mos keladi.
Endi (2.14), (2.15) ayirmali sxemaning approksimatsiyasi tartibini aniqlaymiz. Buning uchun (2.14) ga differensial masalaning aniq yechimini qo’yamiz. Ravshanki,
6 - chizma. a — ikki qatlamli oshkor sxema,
b — ikki qatlamli sof oshkormas sxema.
Shuning uchun ham
Agar deb olsak, u holda (2.14), (2.15) ayirmali masala approksimatsiya xatoligining tartibi bo’ladi, chunki dastlabki va chegaraviy shartlar aniq bajariladi. Shunga o’xshash ko’rsatish mumkinki, (2.8)—(2.10) masalaning (2.16), (2.17) ayirmali sxema bilan approksimatsiyasining tartibi .
Shuni aytish kerakki, (2.14), (2.15) va (2.16), (2.17) sxemalar (2.8)—(2.10) tenglamani bir xil xatolik bilan approksimatsiya qilishsa ham, ular o’rtasida katta farq bor. Haqiqatan ham, (2.14) dan quyidagi munosabat kelib chiqadi:
(2.18)
maʼlum bo’lganidan birin-ketin barcha va h.k ni topish mumkin. Shunday qilib, funksiyalarni (2.18) formula bo’yicha oshkor ravishda topish mumkin. Sh uning uchun ham (2.14), (2.16) sxema oshkor deyiladi.
Endi (2.15) tenglamani o’zgartirib, quyidagicha yozamiz:
(2.19)
Barcha maʼlum bo’lganida bu munosabatlar nomaʼlumlarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Shuning uchun ham (2.16), (2.17) sxema oshkormas deyiladi. (2.19) sistemani quyidagicha yozish mumkin:
(2.20)
bunda — nomaʼlum vektor,
,
vektorning koordinatalari esa
matritsa uch diagonalli bo’lganligi uchun (2.20) sistemani xaydash metodi bilan yechish mumkin.
Endi (2.14), (2.15) va (2.16), (2.17) sxemalarni o’z ichiga olgan umumiy sxemani ko’rib chiqamiz.
Ushbu
belgilashni kiritib, quyidagini hosil qilamiz:
(2.21)
Bu sxemada o’zgarmas son vazn deyiladi. Xususiy holda (2.21) dan da (2.14) va da (2.16) kelib chiqadi. (2.21), (2.15) sxema vazniy sxema deyiladi. Bu sxema faqat bo’lgandagina oshkor bo’ladi; bo’lganda esa oshkormas bo’ladi. (2.16), (2.17) sxema boshqa oshkormas sxemalardan farq qilish uchun sof oshkormas sxema deyiladi. Agar bo’lsa, biz quyidagi olti nuqtali simmetrik sxema deb ataluvchi sxemani hosil qilamiz:
(2.22)
Bu sxema 7-chizmadagi olti nuqtali andaza bo’yicha tuziladi.
Endi (2.8)—(2.10) differensial masalani (2.21) ayirmali sxema bilan approksimatsiya qilganda hosil bo’ladigan xatolikni aniqlaymiz. Buning uchun (2.21) masalaning yechimini ko’rinishda yozamiz, bu yerda funksiya (2.8), (2.10) differensial masalaning aniq yechimi. Xatolik uchun quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(2.23)
O’ng tomonda qatnashadigan to’rdagi funksiya quyidagiga teng:
(2.24)
Bu funksiya (2.8), (2.10) masala yechimidagi (2.21) sxema approksimatsiyasining xatoligidir. Bu xatolik tartibini aniqlash uchun (2.24) ifodada qatnashadigan barcha funksiyalarni nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:
Shunga o’xshash
Bu ifodalarni (2.24) ga qo’ysak,
ni hosil qilamiz. Endi
dan foydalansak, u holda
kelib chiqadi. Demak, deb olsak, u holda , agar bo’lsa va , agar bo’lsa.
Shunday qilib, (2.22) olti nuqtali simmetrik sxema uchun .
Do'stlaringiz bilan baham: |
