“Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi

Kurs ishining nazariy va amaliy ahamiyati: Xususiy hosilali differensial tenglamalarni taqribiy yechishdan fan va texnikaning turli masalalarini yechishda foydalanish.
Kurs ishi tuzilmasining tavsifi: Ushbu kurs ishi jami 34 bet bo’lib, mundarija, kirish, ikkita bob, 9 ta chizma, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.

I BOB. TO’R METODI, TURG’UNLIK, APPROKSIMATSIYA VA YAQINLASHISH

Biz matematik fizika masalalarini taqribiy yechishning ayrim keng tarqalgan metodlarini ko’rib chiqamiz. Matematik fizika kurslarida o’zgaruvchilarning soni va hosilalarning tartibi bo’lgan tenglamalar qaraladi. Biz asosiy diqqatni ikki erkli o’zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarga qaratamiz.Bunday tenglamalar misolida qaraladigan metodlarning asosiy g’oyasi yaxshi tushunarli bo’lib, hisoblash sxemasi ham soddaroq bo’ladi.
Shuni ham ta’kidlash kerakki, bitta tenglama uchun qaraladigan metodlarni bir necha noma’lum funksiyalarni o’z ichiga olgan tenglamalar sistemasi uchun ham tadbiq qilish mumkin.
To’r metodi (chekli-ayirmali metod) xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishning keng tarqalgan metodlaridandir.

1.1 To’r metodining g’oyasi

To’r metodining g’oyasi bilan
(1.1)
tenglama uchun Dirixle masalasini yechish misolida tanishamiz. Bunda , , , , , koeffisientlar va ozod had chegarasi dan iborat bo’lgan chekli sohada aniqlangan ikki va o’zgaruvchilarning funksiyalaridir. Bu funksiyalar yopiq sohada aniqlangan hamda da , va shartlarni qanoatlantiradi, deb faraz qilamiz.
Faraz qilaylik, (1.1) tenglamaning da uzluksiz va da berilgan qiymatlarni qabul qiladigan, yaʼni
(1.2)
yechimini topish talab qilinsin, bunda uzluksiz funksiyadir.
Taqribiy yechimning sonli qiymatlarini topish uchun tekisligida
, ,
parallel to’g’ri chiziqlarning ikkita oilasini o’tkazamiz. Bunda va mos ravishda absissa va ordinata yo’nalishlaridagi qadamlar deyiladi. Bu to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtalari tugunlar deyiladi, tugunlar to’plami esa to’rni tashkil etadi. Odatda, va qadamlar bir-biriga bog’liq ravishda tanlanadi, masalan, , ( va qandaydir sonlar), xususiy holda . Shuning uchun ham qaralayotgan to’r bitta parametrga bog’liq bo’lib, qadam kichrayganda .
Agar ikkita tugun o’qi yoki o’qi bo’ylab to’rning shu yo’nalishi bo’yicha bir-biridan bir qadam uzoqlikda joylashgan bo’lsa, ularni qo’shni tugunlar deymiz.
Faqat da yotgan tugunlar to’plamini qaraymiz. Agar biror tugunning to’rtala qo’shni tugunlari to’plamda yotsa, u holda bu tugunni ichki tugun deymiz. Ichki tugunlar to’plamini to’r soha deymiz va orqali belgilaymiz. Agar tugunning hech bo’lmaganda birorta qo’shnisi da yotmasa, u holda bu tugun chegaraviy tugun, ularning to’plamini esa to’r sohaning chegarasi deymiz va orqali belgilaymiz (1-chizmada ichki tugunlar 0 bilan va chegaraviy tugunlar * bilan belgilangan).

1-chizma.
Agar to’r soha chegarasi bilan birgalikda qaralsa, u holda u yopiq to’r soha deyiladi va orqali belgilanadi.
Biz to’r ustida aniqlangan funksiya uchun belgilash kiritamiz va har bir tugun uchun (1.1) tenglamada qatnashadigan barcha hosilalarni bo’lingan ayirmalar bilan quyidagicha almashtiramiz:
, (1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
bunda miqdorlar yechimning to’rning tugunidagi taqribiy qiymatlaridir. Tenglama koeffisiyentlarining tugundagi qiymatini , , , , , , orqali belgilaymiz. Hosilalar o’rniga (1.3)—( 1.6) taqribiy qiymatlarini qo’yib, natijada (1.1) differensial tenglamaga mos keladigan quyidagi ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz:

(1.7)

Bunday tenglamani har bir ichki tugun uchun yozish mumkin. Agar chegaraviy tugun bo’lsa, u holda ni bu tugunga yaqinroq bo’lgan ning ustidagi qiymatiga teng deb olamiz (chegaraviy tugunlarda larning qiymatini boshqacha yo’l bilan topishni biz keyinroq ko’rib chiqamiz). Shunday qilib, yechimning ichki tugunlardagi qiymatini topish uchun algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistemada tenglamalarning soni nomaʼlumlar soniga teng. Agar bu sistema yechimga ega bo’lsa, u holda uni yechib, ichki tugunlarda qidirilayotgan yechimning taqribiy qiymatiga ega bo’lamiz.
Biz bu yerda to’g’ri burchakli to’rtburchakdan tuzilgan to’rni ko’rdik. Keyinchalik boshqa xildagi to’rlarni ham ko’rib chiqamiz.