Algebra va matematik analiz

5. Trigonometrik funksiyalarning ko’paytmasini yig’indiga va yig’indisini ko’paytma shakliga keltirish formulalari.
Trigonometrik tenglik va ayniyatlarni isbotlashda, tenglama va tengsizliklarni yechishda trigonometrik funksiyalarning ko’paytmasini yig’indiga almashtirish formulalaridan foydalanishga to’g’ri keladi. Bunday formulalarni keltirib chiqarish uchun qo’shish teoremalaridan foydalanamiz.
Ushbu Sina+ = SinaCos + CosaSin (1)
va Sina- = SinaCos - CosaSin (2)
ayniyatlarni hadlab qo’shib, natijada ikki kosinus ko’paytmasini yig’indi shakliga keltirish uchun quyidagi formulani hosil qilamiz:
Sina+ + Sina- = 2SinaCos bundan: Sina*Cos = 1/2Sina++Sina- 3
Ikkita kosinusning ko’paytmasi argumentlar ayirmasi va yig’indisi kosinuslarning yarim yig’indisiga teng.
(1) tenglikdan (2) tenglikni hadlab ayirsak, sinuslar ko’paytmasining shaklini o’zgartirish formulasi hosil bo’ladi:
CosaCos=1/2Cosa+ + Cosa- (4)
Ikkita sinusning ko’paytmasi argumentlar ayirmasi kosinusidan argumentlar yig’indisi kosinusini ayirish natijasining yarmiga teng. Sina*Sin=1/2Cosa- - Cosa+  5
Natija. Agar (3), (4) va (5) formulalarda a= bo’lsa, ulardan quyidagi formulalarni olamiz:
2Sina*Cosa = Sin2a 6
Chiqarilgan formulalarni ketma-ket tatbiq qilish yo’li bilan sinuslarning va kosinuslarning istalgan ko’paytmalarini va ularning butun musbat ko’rsatkichli darajalarini yig’indi shakliga keltirish mumkin.
3-misol. 2Sin22⁰Cos12⁰ = ifodani yig’indi shakliga keltiring.
Yechish: 3 formula bo’yicha hisoblaymiz:
2Sin22⁰Cos12⁰ = 2* *Sin22⁰-12⁰+Sin22⁰+12⁰ = Sin10⁰+Sin34⁰.
4-misol. Cos2/7+ Cos4/7+ Cos6/7 = -1/2 tenglikni isbotlang.
Yechish:

Trigonometrik funksiyalarning yig’indisini ko’paytma ko’rinishga keltirish formulalari ikkita trigonometrik funksiyaning yig’indisi va ayirmasini trigonometrik funksiyalarning ko’paytmasi shaklida ifodalashga imkon beradi. Bu formulalarni chiqarish uchun trigonometrik funksiyalarning ko’paytmasini yig’indi shakliga keltirish formulalaridan foydalanamiz.

Ikki kosinus yig’indisining formulasi:
Cosa+Cos = 2Cos Cos (1)
Ikki kosinusning yig’indisi argumentlar yarim yig’indisi va yarim ayirmasi kosinuslarining ikkilangan ko’paytmasiga teng. Buni isbot qilish uchun (1) formulaning o’ng tomonidagi ko’paytmani yig’indi shakliga keltirish kifoya

shuni isbot qilish kerak edi. Xuddi shunday usul bilan quyidagi uchta formula ham isbot qilinadi: Kosinuslar ayirmasining formulasi:
Cosa-Cos = -2Sin Sin (2)
Ikki kosinusning ayirmasi argumentlar yarim yig’indisi va yarim ayirmasi sinuslarining manfiy ishorali ikkilangan ko’paytmasiga teng.
Ikki sinus yig’indisining formulasi:
Sina+Sin = 2Sin Cos (3)
Ikki sinusning yig’indisi argumentlar yarim yig’indisi sinusi bilan yarim ayirmasi kosinusining ikkilangan ko’paytmasiga teng.
Sinuslar ayirmasining formulasi:
Sina-Sin = 2Sin Cos (4)
Ikki sinusning ayirmasi argumentlar yarim yig’indisi kosinusi bilan yarim ayirmasi sinusining ikkkilangan ko’paytmasiga teng.
Tangenslar yig’indisining va ayirmasining formulalari: tga+tg = (5)
tga-tg = (6)
Ctga+Ctg = (7)