Al-Xorazmiy nomli Urganch Davlat Universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 183-matematika guruhi talabasi Shamuratova Surayyoning Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanidan

1-Izoh. (a) va (b) tasdiqlar birgalikda Borel-Kantelli lemmasi nomi

bilan yuritiladi. Bu ikkala natija (1909, 1912) yillarda Borel va (1912) yilda

Kontelli tomonidan isbotlangan ([1] – [3]).

Borel-Kantelli lemmasi ehtimollar nazariyasining (kuchli yaqinlashishlar bilan bog‘liq bo`lgan) ko`p masalalarida juda foydali, xususan bu lemma kuchaytirilgan katta sonlar qonunlarini va takroriy logarifm qonunlarini o`rnatishda kerak bo`ladi. Bu lemmaning birinchi qismi keng ko`lamli tatbiqlarga ega, chunki undagi hodisalar ketma-ketligi mutloq ihtiyoriy bo`lib, bog‘liqsizlikka hech qanday shart qo`yilmaydi. Shu bilan birga u ihtiyoriy o`lchovli fazolar va undagi ihtiyoriy boshqa (ehtimol o`lchovi bo`lishi shart bo`lmagan) o`lchovlar uchun ham o`rinli, chunki (a) tasdiqning isboti jarayonida ehtimol o`lchovining monotonligi va yarim additivlik xossasigina ishlatiladi xolos.

Borel-Kantelli lemmasining (a) qismi o`lchovlar nazariyasidagi monoton yaqinlashishlar haqidagi teoremaning, nomanfiy hadli qatorlarga tatbiqi natijasida kelib chiqadigan, xususiy holidan iborat:

(a) ning shartiga ko`ra,

va shuning uchun

Ammo .

Aslida, agar uchun va bo`lsa, u holda qator 1 ehtimol bilan yaqinlashishini ko`rsata olamiz.

2-Izoh. Borel-Kantelli lemmasining (a) qismiga teskari tasdiqni quyidagicha ta’riflashimiz mumkin: Agar bo`lsa, u holda qator yaqinlashadi. Bu esa, o`z navbatida ushbu: agar bo`lsa, u holda degan tasdiqga ekvivalentdir. Borel-Kantelli lemmasining (b) qismi, agar bunga qo`shimcha ravishda hodisalar ketma-ketligi bog‘liqsiz bo`lsa, u holda ekanligini ko`rsatadi; shuning uchun ham (b) tasdiq (a) ning qisman teskarisi deb yuritiladi. Shu bilan birga, (a) tasdiqning teskarisi (ya’ni (b) tasdiq) umumiy holda, to`g‘ri emas, buni quyidagi misol yaqqol ko`rsatadi.