Al-Xorazmiy nomli Urganch Davlat Universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 183-matematika guruhi talabasi Shamuratova Surayyoning Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanidan

4-Teorema. munosabat o`rinli bo`lishi uchun, ihtiyoriy uchun

bo`lishi zarur va yetarli.

Isboti. Quyidagi tenglikni o`rinli ekanligini ko`rish qiyin emas:

.

Faraz qilamiz,

tenglik o`rinli bo`lsin. Bu esa o`z navbatida

tenglikka ekvivalent. Oxirgi tenglik esa, o`z navbatida, ushbu: ihtiyoriy uchun

yoki ihtiyoriy uchun

ta’kidga ekvivalent. Oxirgi ta’kid esa: ihtiyoriy uchun

bilan teng kuchli. Bu esa ziddiyatga olib keladi Yuqorida aytilganlarning hammasidan teoremaning isboti kelib chiqadi.

lar A dan olingan hodisalar ketma-ketligi bo‘lsin. orqali hodisalardan cheksiz ko‘pi ro‘y berishini ifodalovchi

hodisani belgilaymiz.

Quyidagi Borel – Kantelli lemmasi ehtimollar nazariyasi va matematik statistika kursining eng muhim va amaliyotda keng ko`lamli tatbiqlarga ega bo`lgan natijalaridan biri hisoblanadi. Bu lemma hodisalar ketma-ketligi limsupining ehtimolini hisoblashga bag‘ishlangan.