Al-Xorazmiy nomli Urganch Davlat Universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 183-matematika guruhi talabasi Shamuratova Surayyoning Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanidan

5-Teorema. (Borel-Kantelli lemmasi). A ehtimollar fazosi va hodisalar ketma-ketligi bo`lsin.

(a) agar bo`lsa, u holda

(b) agar qator uzoqlashsa (ya’ni ) va hodisalar ketma-ketligi bog‘liqsiz bo`lsa, u holda .

Isboti. (a) Avval munosabatning o`rinli ekanligini qayd etamiz. Demak, har qanday butun uchun, Bul tengsizligiga ko`ra

(11)

qator yaqinlashgani uchun uning qoldiq hadi no`lga intiladi, ya’ni da . Shuning uchun ham, (11) da deb, biz kutilgan natijaga ega bo`lamiz.

(b) Biz ekanligini ko`rsatamiz, bu yerda . Ta’rifga ko`ra

(Morgan qonuni), bo`lgani sababli , biz har bir uchun

(12)

ekanligini ko`rsatishimiz yetarli. ni fiksirlaymiz. Har qanday haqiqiy uchun tengsizlik o`rinli. Bundan foydalanib, har qanday uchun hodisalar ketma-ketligini bog‘liqsizligini hisobga olsak,

qator uzoqlashgani uchun, da bo`lgani sababli, j ni cheksizga intiltirib, biz (12) ni hosil qilamiz. Teorema isbot bo`ldi.