Maksimal modul printsipi va Shvarts lemmasi

Maksimal modul printsipi va Shvarts lemmasi.
Maksimal modul printsipi quyidagi teorema bilan ifodalanadi:
Teorema 1. Agar f funksiya D sohada golomorf bo’lsa va uning moduli |f|, nuqtada (mahalliy) maksimalga yetadi, keyin f doimiy bo'ladi.
Keling, hududni saqlash printsipidan foydalanamiz. Agar f const bo'lsa, u ni D* maydonning nuqtasiga aylantiradi. aylana bor va unda nuqta shundayki . qiymati nuqtaning qaysidir qo'shnisida f funksiya tomonidan qabul qilinadi va bu haqiqatga zid keladi | f| bu vaqtda maksimal darajaga etadi.
Yopiq to'plamlarda uzluksiz bo'lgan funktsiyalarning xususiyatlarini hisobga olgan holda, maksimal modul printsipini ham quyidagicha shakllantirish mumkin:
Teorema 2. Agar f funksiya D da golomorf, da uzluksiz bo lsa, u holda |f|, chegarasida maksimal darajaga etadi.
Agar f=const (D da, demak, D da ham uzluksizlik tufayli) bo'lsa, tasdiq ahamiyatsiz bo'ladi. Agar bo'lsa, nuqtalarida maksimalga erisha olmaydi va bu maksimalga D da erishish kerakligi sababli, u da erishiladi.
Modulning minimal miqdori uchun shunga o'xshash da'vo, umuman olganda, adolatsizdir. Buni {|z|<1} aylanadagi f(z)=z funksiya misolidan ko'rish mumkin (z=0 nuqtada |f| ning minimaliga erishiladi). Biroq, bu haqiqat.
Teorema 3. Agar f funktsiya D sohada golomorf bo'lsa va bu sohada yo'qolmasa, u holda
holatda D ni ichida (mahalliy) minimumga yetishi mumkin.
Buni isbotlash uchun 1-teoremani D da golomorf bo‘lgan minimal modul funksiyasiga qo‘llash kifoya, chunki . Olingan natijalar shuni ko'rsatadiki, golomorf funktsiya modulining yuzasi, ya'ni tenglamali fazodagi sirt (x, y, p) , ba'zi strukturaviy xususiyatlarga ega. Ya'ni, agar u darajasida bo'lmasa, u mahalliy maksimal va mahalliy minimal bo'lishi mumkin emas. Bu sirtga teguvchi tekislik va ning ikkala hosilalari yo'q bo'lib ketadigan yoki bir xil bo'lgan har ikkala nuqtada (statsionar nuqtalarda) gorizontal bo'ladi.
Oddiy hisob-kitob shuni ko'rsatadiki

Maksimal modul printsipi funktsiyalar nazariyasida muhim xususiyatlarga ega. Masalan, ushbu printsipdan foydalanib, Runge teoremasi nega ko'paytiriladigan bog'langan domenlar uchun haqiqiy emasligini tushuntirish oson. Darhaqiqat, oddiy bog'lanmagan D domenida yopiq Iordaniya egri chizig'i mavjud bo'lib, uning ichida kamida bitta nuqta mavjud. Agar ma’lum funksiya har qanday ixcham da ko‘phadlar tomonidan bir xilda yaqinlashtirilsa, u holda da f ga bir xil yaqinlashuvchi Pn ko‘phadlar ketma-ketligi mavjud bo‘ladi. Koshi mezoni bo'yicha har qanday uchun N soni mavjud bo'lib, barcha m uchun, istalgan nuqtada bo'ladi. Maksimal modul printsipiga ko'ra, bu tengsizliklar G sohasining egri chizig'i bilan chegaralangan barcha nuqtalarida ham amal qiladi va demak, xuddi shu mezon bo'yicha ketma-ketligi Gda bir xilda yaqinlashadi. Veyershtras teoremasi boʻyicha Gda golomorf funksiya hisoblanadi. Lekin nuqtalarida bu chegara f ga to'g'ri keladi, shuning uchun f golomorf ravishda G ga va xususan, nuqtasiga uzatilishi mumkin.

ning har bir funksiyasi bunday xususiyatga ega bo‘lmagani uchun (masalan, yo‘q), demak, Runge teoremasidan farqli o‘laroq, ning hamma funksiyalarini bir xilda ko‘phadlar bilan yaqinlashtirib bo‘lmaydi. Maksimal modul printsipining natijasi ham oddiy.
Lemma Shvarts. aylanada f funksiya golomorf bo'lsin, uning moduli 1 dan oshmaydi (ya'ni, agar barcha uchun) va .
U holda hamma uchun

va agar tenglikka kamida bitta nuqtada erishilsa, u holda U ning hamma joyida amal qiladi va bu holda , bunda a haqiqiy doimiydir.
funksiyani ko'rib chiqaylik; shartiga ko‘ra, U da golomorf bo‘ladi.
Ixtiyoriy doirani ko'rib chiqaylik , ; 2-teorema bo'yicha, funktsiya | |
chegarasida maksimalga etadi. Lekin da bizda bor, chunki faraz bilan , shuning uchun ning hamma joyida, .
Biz ni tuzatamiz va ni 1 ga o'tkazamiz; tengsizlikdan chegarada biz , ya'ni
barcha uchun. Har qanday nuqtani qandaydir aylanaga botirish mumkinligi uchun , tengsizlik (2) isbotlangan. Agar (2) ning istalgan nuqtasida tenglik belgisi sodir bo'lsa, shu nuqtada 1 ga teng maksimal qiymatiga etadi. U holda - moduli aniq 1 ga teng bo'lgan doimiy, ya'ni. va
Shvarts lemmasidan kelib chiqadiki, { } aylana ning golomorf xaritasi ostida {|ω| } aylanaga, markazni markazga olib, istalgan aylana tasviri . Aylana ichida yotadi. Bundan tashqari, tasviri bilan umumiy nuqtalarga ega bo'lishi mumkin, agar nuqta atrofida aylanishga qisqartirilsa.