Аксарият масалаларни ечиш икки босқичдан иборат бўлади

1-ma`ruza. Mavzu: Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari
Reja:

1. 
   Differensial tenglama tushunchasiga olib keluvchi masalalar.
   
2. 
   Differensial tenglamalar nazariyasining ba`zi tushunchalari.
   
3. 
   Birinchi tartibli differensial tenglama va uning yechimi.
   
4. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamaning geometrik ma`nosi. Yо`nalishlar maydoni. Izoklinlar.
   
5. 
   Berilgan egri chiziqlar oilasining differensial tenglamasi.
   
6. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi.
   

Adabiyotlar: 3, 8, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 24.
Tayanch iboralar: differensial tenglama, urinma, burchak koeffitsiyenti, chiziqli tenglama, oddiy, xususiy hosilali, yо`nalishlar maydoni, izoklin, yechim, umumiy yechim, xususiy yechim, Koshi masalasi, boshlang`ich shart, integral egri chiziqlar, maxsus nuqta, maxsus yechim.


1.1 Differensial tenglama tushunchasiga olib keluvchi masalalar
Aksariyat masalalarni yechish ikki bosqichdan iborat bо`ladi. Birinchi bosqich masalaning matematik modelini tuzish ya`ni qaralayotgan evolyusion jarayonni tasvirlovchi tenglamani tuzish bilan yakunlanadi. Masalaning matematik modeli-tenglamasi tuzilganda masala tenglamaga keltirildi deyiladi. Ikkinchi bosqich masala keltirilgan tenglamani yechishdan iborat. Masala keltirilgan tenglama turlicha bо`lib uni yechish tenglamani yechishning umumiy nazariyasi ishlab chiqilgan yoki ishlab chiqilmaganligiga bog`liq bо`ladi. Agar masala kеltirilgan tenglamani yechilishi nazariyasi yaratilgan bо`lsa masala tenglamaga keltirilishi bilan uni yechilgan sanaladi. Masalan, evolyusion jarayonni tasvirlovchi tenglama kvadrat tenglama bо`lganda masala kvadrat tenglamaga keltirilishi bilan uni yechilgan sanaymiz, chunki kvadrat tenglamani ildizini topish formulalari mavjud. Tenglamasi beshinchi va undan yuqori darajali algebraik tenglamalar bо`lgan, masalalar haqida bunday fikrlab bо`lmaydi. Chunki tо`rtinchi darajalidan yuqori darajali istalgan algebraik tenglamani ildizlarini topish formulalari mavjud emas.
Tabiat hodisalarini о`rganish, fizika va texnika, ximiya va biologiya hamda boshqa fanlarning masalalarini yechishda har doim ham u yoki bu evolyusion jarayonni tasvirlovchi miqdorlar orasida bevosita bog`lanish о`rnatib bо`lmasligi mumkin. Ammo kо`p hollarda о`zgaruvchi miqdor(funksiya) va uning boshqa biror miqdor(argument)ga bog`liq ravishda о`zgarish tezligi orasida aloqa о`rnatish mumkin bо`ladi, ya`ni izlanuvchi funksiyaning hosilasi ishtirok etgan tenglamaga ega bо`linadi. Bunday tenglamalar differensial tenglamalar deyiladi.
Eng sodda differensial tenglamaga tenglama misol bо`ladi, bunda ma`lum funksiya, izlanuvchi funksiya. Bu tenglamaning yechimi funksiyaning boshlang`ich funksiyasi deb atalishi ta`kidlangan edi.
Masalan, differensial tenglamaning yechimi bо`ladi, bunda C-ixtiyoriy о`zgarms. C ga aniq qiymatlar berish natijasida tenglamaning har xil yechimlariga ega bо`lamiz. Demak berilgan differensial tenglamani cheksiz kо`p (behisob) funksiyalar tо`plami qanoatlantirar ekan. Bu xususiyat barcha differensial tenglamalarga xosdir. Shuning uchun ba`zi jarayonni evolyusiyasini tasvirlovchi differensial tenglamani yechish bilan bir vaqtda jarayonni tasvirlovchi miqdorlar о`rtasida bog`lanish о`rnatish mumkin emas. Differensial tenglamaning topilgan behisob kо`p yechimlaridan qaysi biri aynan biz qarayotgan jarayonni tasvirlashini aniqlash uchun izlanuvchi funksiya haqida qandaydir qо`shimcha ma`lumotga ega bо`lishimiz ya`ni jarayonning boshlang`ich holatini bilishimiz lozim. Masalan A shahar tomon о`zgarmas tezlik bilan tо`g`ri chiziqli yо`l bо`ylab harakatlanayotgan yо`lovchi qancha vaqtdan sо`ng A shaharda bо`ladi degan savolga qо`shimcha ma`lumotsiz javob berib bо`lmaydi. Kuzatish boshlangandan sо`ng yо`lovchining vaqt ichida о`tgan yо`lini desak hosilaning mexanik ma`nosiga binoan yо`lovchini harakat qonunini ifodalovchi kо`rinishdagi differensial tenglamaga ega bо`lamiz. shu tenglamaning yechimi bо`ladi, C-ixtiyoriy о`zgarmas. Bu behisob yechimlardan qо`yilgan masalaning yechimini ifodalovchi yechimni, yо`lovchining dastlabki holatini ya`ni kuzatish boshlanganda yо`lovchi A shahardan qanday masofada bо`lganligini bilmasdan turib aniqlab bо`lmaydi. Aytaylik kuzatish boshlanganda yо`lovchi shahardan masofada bо`lsin. U holda masalaning shartiga binoan bо`lgani uchun yechimga ni qо`ysak , bundan kelib chiqadi. Shunday qilib , bundan ga ega bо`lamiz.
Yо`lovchining shaharga borish uchun sarflangan vaqtini orqali belgilab masalaning yechimiga ega bо`lamiz.
Differensial tenglama va u bilan bog`liq umumiy tushunchalarga ta`rif berishdan oldin differensial tenglamaning yechimidan iborat funksiyani topishga olib keluvchi bir nechta masalalarni qaraymiz.